Çokgenler/Dışbükey çokgenlerin özellikleri/Düzgün Çokgenler/Beşgen/Beşgen/Altıgen/ Yedigen/Sekizgen/Dokuzgen/Ongen

**Şengül Şirin** · 11-21-2012

Çokgenler

Çokgen düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir

Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa iç bükey (konkav), kenar doğrularının hiçbiri çokgeni kesmiyorsa dış bükey (konkav) çokgen denir

Dışbükey çokgenlerin özellikleri

Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde ise o çokgen dış bükey çokgendir

İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplam
180°(n-2)
Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde
Dış açılar toplamı =360°
Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin
köşegen sayısı=

Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir

n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir

Bir çokgen çizilebilmesi için en az ( n - 2 ) uzunluk ve en az ( n - 1 ) açı bilinmelidir

En az (2n -3) eleman verilmelidir

Düzgün Çokgenler

Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü

dir

Bir dış açısının ölçüsü ise 360/n dir

(n=kenar sayısı)

n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı
Alan=n

a

r/2 (r= içteğet çember merkezi ile iki köşenin oluşturduğu üçgenin yüksekliği)
n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) α=360/n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı
Alan=n

R²

sinα/2 Ör: Düzgün bir altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur

Bir kenarına a dersek alanı hesaplama formülü şudur: Alan=6

a²√3/4 a

İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir

Beşgen

Bir beşgen, beş kenarı olan çokgendir

İç açıları toplamı 540°, dış açıların toplamı ise 360°'dir

Düzgün beşgenler, her bir kenar uzunluğu ve her bir iç açısının ölçüsü birbirine eşit olan beşgenlerdir

Bu tür beşgenlerin çevresini ve alanını bulabilmek için, kenar uzunluğunun bilinmesi yeterlidir

Alan hesabında aşağıdaki formül kullanılır;

Doğada bamya beşgendir

Altıgen

Bir altıgen, altı kenarı ve altı köşesi olan çokgendir

Ayrıca kenarları ve iç açıları eşitse düzgün altıgen olarak adlandırılır

Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120°'dir

Düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı ve çevresi kolayca bulunabilir

Kenarı a uzunlukta olan düzgün bir altıgenin alanı, bir kenarı a olan bir eşkenar üçgenin alanının 6 katına eşittir

İç açıları toplamı (n-2)

180'dir

Dolayısıyla her bir iç açısının ölçüsü 120 derecedir

Altıgen tabanlı prizmanın hacmi ise her prizmatik cismin olduğu gibi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşttir

Düzgün altıgen prizmanın bir kenarı a ve yüksekliği h ise;
Taban Alanı =

ve Hacim =

olacaktır

Yedigen

Bir yedigen, yedi kenarı olan çokgendir

7'nin bir asal sayı olması nedeniyle, yedigenlerin de her köşesinden bir köşegen geçmemektedir

Yedigen'in Alanı =

formülü ile bulunur

Sekizgen

Bir sekizgen, sekiz kenarı olan çokgendir

İç açıları toplamı: 6

180=1080 derecedir

1080:8=135 derece olur

Dokuzgen

Bir dokuzgen, dokuz kenarı olan çokgendir

Bir düzgün dokuzgende bir iç açı 140 derecedir

Açısal hesaplamalar için formül

Alanı

veya yarıçap üzerinden:

Ongen

Bir ongen, on açısı ve on kenarı olan çokgendir

Ongenin İç Açıları Toplamı 1440'dır

Düzgün Ongenin Bir İç Açısı 144'tür

Ongenin dış açıları toplamı ise 360'tır

Çemberde Ongen Çizimi

Öncelikle 4 Cm Yarıçaplı Bir Çember Çiziyoruz

Daha Sonra Dik Kesişen Bir Çap Daha Çiziyoruz

Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktayı Bulup Adlandırıyoruz (Örneğin: A)

Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktaya Pergelimizin Ucunu Batırıp Dik Kesiştirdiimiz Diğer Çapın Üstteki Noktası Kadar Açıyoruz Ve Alttaki Çapa Kadar Bir Yay Çiziyoruz

Çizdiğimiz Yayın Çap İle Birleştiği Noktadan Merkeze Kadar Olan Bölge Ongenin Bir Kenar Uzunluğudur

Bulduğumuz Kenar Uzunluğu Kadar Pergelimizi Açıp Sağdaki Noktadan Yayları Çizmeye Başlıyoruz(Pergel Kesinlikle Açılmayacak, Kapanmayacak, Aynı Kalacak Şekilde)
Çizdiğimiz Yayların Noktalarını Cetvel İle Birleştirip Ongen Elde Ediyoruz

11-21-2012	#6
Şengül Şirin	Çokgenler/Dışbükey çokgenlerin özellikleri/Düzgün Çokgenler/Beşgen/Beşgen/Altıgen/ Yedigen/Sekizgen/Dokuzgen/Ongen Çokgenler Çokgen düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa iç bükey (konkav), kenar doğrularının hiçbiri çokgeni kesmiyorsa dış bükey (konkav) çokgen denir Dışbükey çokgenlerin özellikleri Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde ise o çokgen dış bükey çokgendir İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplam 180°(n-2) Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde Dış açılar toplamı =360° Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı= Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek (n – 2) adet üçgen elde edilebilir Bir çokgen çizilebilmesi için en az ( n - 2 ) uzunluk ve en az ( n - 1 ) açı bilinmelidirEn az (2n -3) eleman verilmelidir Düzgün Çokgenler Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü dirBir dış açısının ölçüsü ise 360/n dir (n=kenar sayısı) n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı Alan=nar/2 (r= içteğet çember merkezi ile iki köşenin oluşturduğu üçgenin yüksekliği) n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) α=360/n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı Alan=nR²sinα/2 Ör: Düzgün bir altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur Bir kenarına a dersek alanı hesaplama formülü şudur: Alan=6a²√3/4 a İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir Beşgen Bir beşgen, beş kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı 540°, dış açıların toplamı ise 360°'dir Düzgün beşgenler, her bir kenar uzunluğu ve her bir iç açısının ölçüsü birbirine eşit olan beşgenlerdir Bu tür beşgenlerin çevresini ve alanını bulabilmek için, kenar uzunluğunun bilinmesi yeterlidir Alan hesabında aşağıdaki formül kullanılır; Doğada bamya beşgendir Altıgen Bir altıgen, altı kenarı ve altı köşesi olan çokgendir Ayrıca kenarları ve iç açıları eşitse düzgün altıgen olarak adlandırılır Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120°'dir Düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı ve çevresi kolayca bulunabilir Kenarı a uzunlukta olan düzgün bir altıgenin alanı, bir kenarı a olan bir eşkenar üçgenin alanının 6 katına eşittir İç açıları toplamı (n-2) 180'dir Dolayısıyla her bir iç açısının ölçüsü 120 derecedir Altıgen tabanlı prizmanın hacmi ise her prizmatik cismin olduğu gibi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşttir Düzgün altıgen prizmanın bir kenarı a ve yüksekliği h ise; Taban Alanı = ve Hacim = olacaktır Yedigen Bir yedigen, yedi kenarı olan çokgendir 7'nin bir asal sayı olması nedeniyle, yedigenlerin de her köşesinden bir köşegen geçmemektedir Yedigen'in Alanı = formülü ile bulunur Sekizgen Bir sekizgen, sekiz kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı: 6180=1080 derecedir 1080:8=135 derece olur Dokuzgen Bir dokuzgen, dokuz kenarı olan çokgendir Bir düzgün dokuzgende bir iç açı 140 derecedir Açısal hesaplamalar için formül Alanı veya yarıçap üzerinden: Ongen Bir ongen, on açısı ve on kenarı olan çokgendir Ongenin İç Açıları Toplamı 1440'dır Düzgün Ongenin Bir İç Açısı 144'tür Ongenin dış açıları toplamı ise 360'tır Çemberde Ongen Çizimi Öncelikle 4 Cm Yarıçaplı Bir Çember Çiziyoruz Daha Sonra Dik Kesişen Bir Çap Daha Çiziyoruz Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktayı Bulup Adlandırıyoruz (Örneğin: A) Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktaya Pergelimizin Ucunu Batırıp Dik Kesiştirdiimiz Diğer Çapın Üstteki Noktası Kadar Açıyoruz Ve Alttaki Çapa Kadar Bir Yay Çiziyoruz Çizdiğimiz Yayın Çap İle Birleştiği Noktadan Merkeze Kadar Olan Bölge Ongenin Bir Kenar Uzunluğudur Bulduğumuz Kenar Uzunluğu Kadar Pergelimizi Açıp Sağdaki Noktadan Yayları Çizmeye Başlıyoruz(Pergel Kesinlikle Açılmayacak, Kapanmayacak, Aynı Kalacak Şekilde) Çizdiğimiz Yayların Noktalarını Cetvel İle Birleştirip Ongen Elde Ediyoruz __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır