Cauchy İntegral Formülü

g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) fonksiyonunun mutlak değerinin yüzeyi ve yazıda açıklanan kontürlerle birlikte tekillikleri

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin ardından adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir

Teorem

U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve D = { z : | z - z0| ≤ r} kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı

ifadesi doğru olur

Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z0) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorf fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar Özellikle, f aslında

ile sonsuz kere türevlenebilirdir Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir

C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorf olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir

Kanıt taslağı

Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki

integrali 2πi 'ye eşittir Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysaalınarak parametrizasyon yoluyla (Değişken değiştirme) hesaplanabilir

ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin
elde edilir

Örnek

|z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve

ele alınsın

g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir z1 = − 1 + i ve z2 = − 1 − i ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir:

Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z1 ve z2 etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir Bu küçük kontürler z1 ve z2 için sırasıyla C1 ve C2 olsun

C1 etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin

formunda yazılmasına olanak verir Şimdi

olur Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa

elde edilir