Cauchy İntegral Formülü

O zaman C kontürü etrafındaki orijinal integral bu iki integralin toplamı olur:



Sonuçlar

İntegral formülünün geniş bir uygulama alanı vardır Birincisi, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde holomorfsa, o zaman fonksiyon aynı yerde sonsuz kere türevlenebilirdir Dahası, analitik bir fonksiyondur yani kuvvet serisi şeklinde temsil edilebilir Bu ifadenin kanıtı

ifadesinde baskın yakınsaklık teoremini ve geometrik seriyi kullanır Formül aynı zamanda meromorfik fonksiyonların bir sonucu olan kalıntı teoreminin ve ilişkin bir sonuç olan argüman ilkesinin kanıtında kullanılmaktadır Morera teoremi sayesinde holomorf fonksiyonların düzgün limitinin de holomorf olduğu bilinmektedir Bu sonuç Cauchy integral formülünden de çıkarılabilir: Formül limit içinde ve integrali alınan ifade için de geçerlidir ve bu yüzden integral kuvvet serisi olarak açılabilir Ayrıca, daha yüksek mertebeden türevler için Cauchy formülü bu türevlerin hepsinin düzgün bir şekilde yakınsadığını gösterir

Cauchy integral formülünün gerçel analizdeki analoğu harmonik fonksiyonlar için olan Poisson integral formülüdür Bu bağlamda, holomorf fonksiyonların özelliklerinin çoğu taşınabilir Ancak, daha genel türevlenebilir ve gerçel analitik fonksiyonlar sınıfı için artık bunun gibi sonuçlar geçerli değildir Örneğin, gerçel bir fonksiyonun birinci türevi daha yüksek mertebeden türevlerin varlığını veya fonksiyonun analitikliğini göstermez Benzer bir şekilde, bir (gerçel) türevlenebilir fonksiyonlar dizisinin düzgün limiti türevlenebilme özelliğine sahip olmayabilir veya türevlenebilir olur ama bu türev dizinin elemanlarının türevlerinin limiti olmayabilir

Genelleştirmeler

Pürüzsüz fonksiyonlar [değiştir]

Cauchy integral formülünün bir versiyonu, Stoke teoremine dayandığı için pürüzsüz fonksiyonlar için de geçerlidir D, C 'de bir disk olsun ve f, D 'nin kapanışında bir sürekli bir şekilde türevlenebilir fonksiyon yani C1 olan bir fonksiyon olsun O zaman (Hörmander 1966, Teorem 121),

olur Bu temsil formülü aynı zamanda D içinde, homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemlerini çözmek için de kullanılabilir Aslında, φ, D içinde fonksiyonsa,

denkleminin özel bir f çözümü

tarafından verilir

Daha ihtimamlı bir şekilde (Hörmander 1966, Teorem 122), μ, C üzerinde bir tıkız desteğin karmaşık (sonlu) ölçümü olursa, o zaman

μ 'nün desteği dışında holomorf bir fonksiyon olur Dahası açık bir D kümesi üzerinde bir φ ∈ Ck(D) (k≥1) için

olursa, o zamande Ck(D) 'nin içinde yer alır ve

denklemini sağlar

İlk sonuç, kısaca, Cauchy çekirdeği denilenile tıkız bir şekilde desteklenen ölçümün μ*k(z) girişimi, μ 'nün desteği dışında holomorf bir fonksiyon olmasıdır İkinci sonuç ise, Cauchy çekirdeğinin Cauchy-Riemann denklemlerinin temel bir çözümü olduğunu ifade eder