Schwarz Önsavı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Schwarz önsavı, karmaşık düzlemdeki birim daire üzerinde tanımlı ve değer kümesi yine aynı birim daire olan holomorf fonksiyonların aldığı değerlerin üzerine kestirimler veren önemli bir sonuçtur Her ne kadar bilim dizininde önsav olarak isim almışsa da kendi başına önemli bir teoremdir Bu sonuç, günümüzde herhangi bir karmaşık analiz kitabında ifade edilen şeklinden daha farklı bir şekilde ilk defa Alman matematikçi Hermann Amandus Schwarz tarafından kendi doktora tezinde ifade edilmiştir Sonucu günışığına çıkarıp günümüzdeki ifadesini yazan ve aynı zamanda bu önsavın tanınmasını sağlayan matematikçi ise Yunan matematikçi Constantin Carathéodory olmuştur

Karmaşık analizin diğer önemli sonuçlarına göre daha kolay bir kanıta sahip olmasına ve bunun yanında basit bir sonuç olmasına rağmen, Schwarz önsavı yine de karmaşık analizin merkezi bir kullanım aracı haline gelmiştir Bunun nedeni ise, Riemann tasvir teoremi gibi önemli teoremlerin kanıtlanmasında ve yine karmaşık analizin geliştirilmesinde sıkça kullanılan bir sonuç olmasıdır

Schwarz önsavı'nın ifadesi

karmaşık düzlemdeki birim daire olsun fonksiyonu da koşulunu sağlayan holomorf bir fonksiyon olsun O zaman, her için

*

*

eşitsizlikleri vardır

Ayrıca, 0 'a eşit olmayan bir için

* eşitliği

veya

*eşitliği

varsa, o zaman f bir döndürme fonksiyonudur; yani, birim çember üzerindeki bir a karmaşık sayısı için olarak yazılabilir