Schwarz Önsavı

Kanıt

Kanıt aslında karmaşık analizdeki maksimum ilkesini
fonksiyonuna uygulamaktadır , olduğu için paydadaki z değerinin g fonksiyonunun holomorfluğunu bozacak bir etkisi yoktur Bunu daha kesin bir dille anlatmak için Riemann kaldırılabilir tekillik teoremi kullanılabilir O yüzden, g de birim daire üzerinde holomorf bir fonksiyondur r < 1 için

kapalı dairelerine bakalım g, Dr 'lerin her birinde holomorf olduğu için, g 'ye maksimum ilkesini uygulayabiliriz O zaman, Dr 'deki her z 'den bağımsız olarak Dr'nin sınırı olan çemberin üzerinde bir zr sayısı vardır öyle ki her için eşitsizliği sağlanır Daha açık bir şekilde yazarsak ve varsayımlarımızı da kullanırsak, o zaman

elde ederiz Ancak, burada aldığımız Dr birim dairenin içinde kalan ve 0 merkezli olan keyfi bir daireydi Son elde ettiğimiz eşitsizlikte here iki tarafın r 1'e soldan giderken limitini alırsak,

elde ederiz ki bu da 0'dan farklı her z için eşitsizliğini verir Bu eşitsizlik, 0 noktasında f 0 değerini aldığı için zaten vardır O halde, önsavın ifadesinde geçen ilk sonuç elde edilir

İkinci sonucu elde etmek içinse, sırasıyla f 'nin 0 noktasındaki türevinin tanımını, g 'nin tanımını ve son olarak g için yukarıda elde edilen eşitsizliği kullanmak yeterli olacaktır:

Ayrıca, D 'de 0'dan farklı bir z0 sayısı için |g(z0)| = 1 eşitliği varsa, o zaman g 'ye yine maksimum ilkesini uygulayıp g 'nin bir sabit fonksiyon olduğunu elde ederiz |g|, z0 noktasında 1 değerini aldığı içinse, bu sabit fonksiyonun mutlak değerinin 1 olduğu sonucuna varırız O zaman, birim çember üzerindeki bir a karmaşık sayısı için ve bu yüzden eşitliği vardır Yine, , eşitliği varsa o zaman yukarıda f 'nin 0 noktasındaki türevi için yazdığımız ifadeden g 'nin 0'daki değerinin 1 olduğunu çıkarırız İlk durumdaki tartışmanın aynısı yine istediğimiz sonucu verecektir