Kümeler,Küme Çeşitleri,Kümelerde İşlemler

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-29-2012

BOŞ KÜME:

Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir

f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir

Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir

Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur

UYARI:

{ f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir

{ 0 } kümesi boş küme değildir

Boş küme bir tanedir

EŞİT KÜMELER:

Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir

A ve B eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile gösterilir

Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }

A = B ‘ dir

DENK KÜMELER:

Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir

Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir

UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez

ALT KÜME:

Bir “A” kümesinde bulunan B

Her eleman aynı zamanda “B” kü-

mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A

kümesinin alt kümesidir denir ve

“A Ì B “ ifadesi ile gösterilir

“A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada

“B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur

"x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir

A Ì B

Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise

A Ì B ‘dir

Alt Kümenin Özellikleri:

Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır

(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur

Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır

(Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır

)

A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) Þ A Ì C ‘dir

Kaynakwh:

(A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir

ÖZALT KÜME:

Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir

Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir

KUVVET KÜMESİ:

Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir

Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır

ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI:

Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir

Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir

S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir

A kümesinin 8 alt kümesi 7 özalt kümesi vardir

N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI:

N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı

( ) = ‘dir

(yani n’in r’li kombinasyonu denir

)

Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin

sayısını bulalım

( ) =

10-29-2012	#2
Prof. Dr. Sinsi	Kümeler,Küme Çeşitleri,Kümelerde İşlemler BOŞ KÜME: Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur UYARI: { f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir { 0 } kümesi boş küme değildir Boş küme bir tanedir EŞİT KÜMELER: Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir A ve B eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile gösterilir Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a } A = B ‘ dir DENK KÜMELER: Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez ALT KÜME: Bir “A” kümesinde bulunan B Her eleman aynı zamanda “B” kü- mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A kümesinin alt kümesidir denir ve “A Ì B “ ifadesi ile gösterilir “A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada “B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur "x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir A Ì B Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise A Ì B ‘dir Alt Kümenin Özellikleri: Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır ) A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) Þ A Ì C ‘dirKaynakwh: (A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir ÖZALT KÜME: Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir KUVVET KÜMESİ: Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI: Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir A kümesinin 8 alt kümesi 7 özalt kümesi vardir N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI: N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı ( ) = ‘dir (yani n’in r’li kombinasyonu denir) Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım ( ) =