|
Prof. Dr. Sinsi
|
Kümeler,Küme Çeşitleri,Kümelerde İşlemler
KÜMELERDE İŞLEMLER
1 Kümelerin Bielişimi:
Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir “A bileşim B” kümesi “A ile B” nin tüm elemanlarından oluşur
A B B A B
A
A È B A È B A È B
Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise
A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur
Birleşim Özellikleri
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A È A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir
Birleşme özelliği:
Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir
s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir
2Kümelerde Kesişim:
Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir “A kesişim B” kümesi hem “A” hemde “B” kümesine ait elemanlardan olusmaktadır
A B
A Ç B
Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise
A Ç B = { 1 , b } ‘ dir
Kesişim İşleminin Özellikler:
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır
Birleşme özelliği:
(A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir
3Ayrık Kümeler:
Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir
Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise
A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir
4Dağılma Özelliği:
a)Birleşimin Kesişim Üzerinde Dağılma Özelliği:
Her A , B ve C elemanları için
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir
Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise
A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 , 4 }
( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 ,4 }
{ 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C )
b)Kesişimin Birleşim Üzerinde Dağılma Özelliği
Her A , B ve C kümeleri için
A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir
Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise
A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e }
= { c }
( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F
= { c }
{ c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
5Birleşimin Eleman Sayısı:
A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir
Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise
s( A È B ) = 5 + 10 – 2
= 13
6Evrensel Küme:
Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir
E
A
B C A Ì E , B Ì E , C Ì E
Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir
7Tümleme:
Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir
E
A¢
A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir
Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise
A¢ = { d , e } ‘ dir
Tümleme İşleminin Özellikleri:
A Ç A¢ = F
A È A¢ = E
( A¢ ) ¢ = A
A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir
( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı)
(A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı)
s(A) + s(A) ¢ = s(E)
E¢ = F
F¢ = E
8Fark Kümesi:
A ve B kümeleri için A B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir
A B
A B A Ç B B A
Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise
A B = { c } B A = { e , f } ‘ dir
Fark Kümesinin Özellikleri:
A ¹ B ise A B ¹ B A
E A¢ = A
A B = A Ç B¢
A Ç B = F ise A B = A
9Simetrik Fark:
A ve B kümeleri için A D B = ( A B ) È ( B A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir
Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise
A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir
Açık Önermeler ve Niceliyiciler:
Açık Önerme:
Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir
Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur P(2) º 1 ‘dir P(x) önermesinde x yerine ½ yadığımızda önerme yanlış olur P(½) = 0 ‘dır
Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir
Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk
kümesini bulalım
3x+1 < 13 Þ 3x < 12 Þ x < 4 ‘ tür
P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm
kümesidir
Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür
Niceliyiciler:
Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır “Bazı aylar 30 gündür” önermesinde sözcüğü “En az bir ay 30 gündür” anlamındadır “ Her kuş uçar ” önermesinde her bütün anlamındadır
Varlıksal Niceliyiciler:
“Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denirBazı sözcüğü “En az bir” anlamına gelir ve bazı ile yapılan önermenin doğruluğu için en az bir doğru örnek yeter Matematikte bazı sözcüğünün yerine “ $ “ sembolü kullanılır
Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 …
gibi sayılar olduğundan doğrudur
Evrensel Niceliyiciler:
“Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denirHer sözcüğü bütün anlamına gelir ve “her” ile yapılan önermenin doğru olmadığını göstermek için bir tek yanlış örnek yeter
Matematikte “her” sözcüğünün yerine “"” sembolü kullanılır
Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır Önermesi x=0 için doğru
değildir O halde önerme yanlıştır
“" ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu:
Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır
1 $x Î A , P(x) ‘ tir önermesinin olumsuzu
[ $x Î A , P(x) ]¢ ile göserilir ve
[ $x Î A , P(x) ]¢ º [ "x Î A , P(x) değilidir]
2 ["x Îr , x > -1] ‘dir önermesinin olumsuzu ["x Îr , x > -1]¢ ile gösterilir
["x Î R , x > -1]¢ º [ $x Î R , x < -1 ‘dir]
Sembol Olumsuzu(Değili)
"…………………………………$
$…………………………………"
³…………………………………<
=…………………………………¹
£…………………………………>
|