Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-29-2012

kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım - Kontür İntegrali

Karmaşık analizde kontür integrali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir

Kontür integralinin karmaşık analizin bir metodu olan kalıntı hesabıyla yakın bir ilişkisi vardır

Kontür integrallerinin bir kullanımı da halihazırdaki gerçel değişken yöntemleriyle bulunamayan gerçel eksendeki integralleri bulmaktır

Kontür integrali yöntemleri şunları içerir:

Karmaşık değerli bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki bir eğri (kontür) boyunca integralinin dolaysız bulunması
Cauchy integral formülünün uygulanması
Kalıntı teoreminin uygulanması

Bu integralleri veya toplamları bulmak amacıyla, bir yöntem veya bu yöntemlerin bir kombinasyonu veya çeşitli limit alma süreçleri kullanılabilir

Dolaysız yöntemler

Dolaysız yöntemler, integralin, çok değişkenli hesaptaki integralleri hesaplamaya yarayan yöntemlere benzer yöntemlerle hesaplanmasını içerir

Bu da şu yöntemleri kullanmamız anlamına gelmektedir:

Kontürü parametrize etme (parametrizasyon)
Kontür gerçel değişkenli, karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon tarafından parametrize edilir veya kontür parçalara bölünüp ayrı ayrı parametrize edilir

Parametrizasyonun integrand içine konulması
Parametrizasyonun integrand içine konulması integrali bir gerçel değişkenli integrale dönüştürecektir

İntegral gerçel değişkenli integralde kullanılan yönteme benzer bir metodla bulunur

Örnek

Karmaşık analizdeki temel sonuçlardan birisi de z-1 in birim çember C etrafındaki (veya 0 etrafındaki herhangi bir Jordan eğrisi boyunca) integralinin 2πi olmasıdır

Şimdi

integralini bulalım

Bu integrali bulmak için, kontür olarak γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π] ile parametrize edebileceğimiz |z| = 1 birim çemberini kullanıyoruz

γ'(t) = ieit olduğunu gözlemleyip, bunu da z için yerine koyarsak

elde ederiz ki bu da integralin değeridir

İntegral teoremlerinin uygulanması

İntegral teoremlerinin uygulanması genelde kontür integrallerini bir kontür boyunca bulmak için kullanılır

Bu da gerçel değerli integralin hesaplanmasının bir kontür integralini hesaplamayla aynı zamanda yapıldığı anlamına gelir

Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoremi gibi integral teoremler, genellikle şu yöntemde kullanılır:

Belli bir kontür seçilir:

Kontür seçilir

Öyle ki, kontür karmaşık düzlemin gerçel değerli integrali tanımlayan bir parçasını takip eder ve ayrıca integrandın da tekilliklerini içerir

Böylece, Cauchy integral formülü veya kalıntı teoreminin kullanımı mümkün olur

Cauchy-Goursat teoreminin uygulanması

İntegral her kutup etrafındaki küçük bir çember etrafında alınan bir integral haline gelir

Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoreminin uygulanması

Bu integral formülünün uygulanması kontürün tümü üzerindeki integralin değerini verir

Kontürün gerçel ve sanal kısımları olan başka bir kontüre bölünmesi

Tüm kontür karmaşık düzlemin parçasını takip eden bir integrale bölünür ki bu kontür de daha önce seçilmiş gerçel değerli integrali (buna R diyelim) ve karmaşık düzlemi kesen integrali (buna da I diyelim) açıklar

Tüm kontür üzerinde alınan integral bu parçalanmış her kontür üzerindeki integrallerin bir toplamıdır

Karmaşık düzlemi kesen integralin gösteriminin toplamda bir rolü yoktur

Eğer I integralinin sıfır olduğu gösterilebilirse veya aranan gerçek değerli integral düzensiz integral ise ve sonra yukarıdaki gibi açıklanan I integralinin 0'a gittiğini gösterebilirsek, R boyuncaki integral R+I kontürü boyuncaki integrale gidecektir

Sonuç

Yukarıdaki adımı gösterebilirsek, o zaman R 'yi, gerçel değerli integrali, dolaysız bir şekilde hesaplayabiliriz

Örnek (I)

integralini ele alalım

Bu integrali bulmak için karmaşık değerli, i ve -i noktalarında tekillikleri olan

fonksiyonuna bakıyoruz

Bununla birlikte, gerçel değerli integrali çevreleyecek kontürü de seçmek istiyoruz; böylece solda gösterilen ve uzattığımızda tüm gerçel ekseni içerecek (a sonsuza gidecek) yarım çemberi seçiyoruz

Bu kontüre C diyelim

Şimdi, ilerlemek için kullanabileceğimiz iki adım var: Cauchy integral formülü veya kalıntılar yöntemi

Cauchy integral teoreminin kullanılması

olduğunu gözlemleyelim

Kontür içindeki tek tekilli i 'deki tekillik olduğu için,

10-29-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım - Kontür İntegrali Karmaşık analizde kontür integrali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir Kontür integralinin karmaşık analizin bir metodu olan kalıntı hesabıyla yakın bir ilişkisi vardır Kontür integrallerinin bir kullanımı da halihazırdaki gerçel değişken yöntemleriyle bulunamayan gerçel eksendeki integralleri bulmaktır Kontür integrali yöntemleri şunları içerir: Karmaşık değerli bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki bir eğri (kontür) boyunca integralinin dolaysız bulunması Cauchy integral formülünün uygulanması Kalıntı teoreminin uygulanması Bu integralleri veya toplamları bulmak amacıyla, bir yöntem veya bu yöntemlerin bir kombinasyonu veya çeşitli limit alma süreçleri kullanılabilir Dolaysız yöntemler Dolaysız yöntemler, integralin, çok değişkenli hesaptaki integralleri hesaplamaya yarayan yöntemlere benzer yöntemlerle hesaplanmasını içerir Bu da şu yöntemleri kullanmamız anlamına gelmektedir: Kontürü parametrize etme (parametrizasyon) Kontür gerçel değişkenli, karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon tarafından parametrize edilir veya kontür parçalara bölünüp ayrı ayrı parametrize edilir Parametrizasyonun integrand içine konulması Parametrizasyonun integrand içine konulması integrali bir gerçel değişkenli integrale dönüştürecektir İntegral gerçel değişkenli integralde kullanılan yönteme benzer bir metodla bulunur Örnek Karmaşık analizdeki temel sonuçlardan birisi de z-1 in birim çember C etrafındaki (veya 0 etrafındaki herhangi bir Jordan eğrisi boyunca) integralinin 2πi olmasıdır Şimdi integralini bulalım Bu integrali bulmak için, kontür olarak γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π] ile parametrize edebileceğimiz \|z\| = 1 birim çemberini kullanıyoruz γ'(t) = ieit olduğunu gözlemleyip, bunu da z için yerine koyarsak elde ederiz ki bu da integralin değeridir İntegral teoremlerinin uygulanması İntegral teoremlerinin uygulanması genelde kontür integrallerini bir kontür boyunca bulmak için kullanılır Bu da gerçel değerli integralin hesaplanmasının bir kontür integralini hesaplamayla aynı zamanda yapıldığı anlamına gelir Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoremi gibi integral teoremler, genellikle şu yöntemde kullanılır: Belli bir kontür seçilir: Kontür seçilir Öyle ki, kontür karmaşık düzlemin gerçel değerli integrali tanımlayan bir parçasını takip eder ve ayrıca integrandın da tekilliklerini içerir Böylece, Cauchy integral formülü veya kalıntı teoreminin kullanımı mümkün olur Cauchy-Goursat teoreminin uygulanması İntegral her kutup etrafındaki küçük bir çember etrafında alınan bir integral haline gelir Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoreminin uygulanması Bu integral formülünün uygulanması kontürün tümü üzerindeki integralin değerini verir Kontürün gerçel ve sanal kısımları olan başka bir kontüre bölünmesi Tüm kontür karmaşık düzlemin parçasını takip eden bir integrale bölünür ki bu kontür de daha önce seçilmiş gerçel değerli integrali (buna R diyelim) ve karmaşık düzlemi kesen integrali (buna da I diyelim) açıklar Tüm kontür üzerinde alınan integral bu parçalanmış her kontür üzerindeki integrallerin bir toplamıdır Karmaşık düzlemi kesen integralin gösteriminin toplamda bir rolü yoktur Eğer I integralinin sıfır olduğu gösterilebilirse veya aranan gerçek değerli integral düzensiz integral ise ve sonra yukarıdaki gibi açıklanan I integralinin 0'a gittiğini gösterebilirsek, R boyuncaki integral R+I kontürü boyuncaki integrale gidecektir Sonuç Yukarıdaki adımı gösterebilirsek, o zaman R 'yi, gerçel değerli integrali, dolaysız bir şekilde hesaplayabiliriz Örnek (I) integralini ele alalım Bu integrali bulmak için karmaşık değerli, i ve -i noktalarında tekillikleri olan fonksiyonuna bakıyoruz Bununla birlikte, gerçel değerli integrali çevreleyecek kontürü de seçmek istiyoruz; böylece solda gösterilen ve uzattığımızda tüm gerçel ekseni içerecek (a sonsuza gidecek) yarım çemberi seçiyoruz Bu kontüre C diyelim Şimdi, ilerlemek için kullanabileceğimiz iki adım var: Cauchy integral formülü veya kalıntılar yöntemi Cauchy integral teoreminin kullanılması olduğunu gözlemleyelim Kontür içindeki tek tekilli i 'deki tekillik olduğu için,