Sayı Nedir? Negatif Ve Pozitif Sayılar

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-29-2012

Sayı nedir?
Sayı bir düşünce aracıdır, bir fikirdir

Sayılarla çok farklı eşya kümelerini karşılaştırabiliriz

Sayılar sayma işleminin arkasındaki fikirdir

Fiziksel olarak, bir şey sayılarla ifade edilemiyorsa, bilim değildir

Rakam nedir?
Rakamlar sayıları göstermek için kullandığımız sembollerdir

Negatif ve pozitif sayılar
POZİTİF SAYI,NEGATİF SAYI
Sıfırdan küçük sayılara negatif sayı,sıfırdan büyük sayılara pozitif sayı denir

-1,-2,-3

gibi giden sayılara negatif tam sayılar denir

Z üzeri eksi(-) ile gösterilir

pozitif sayılar ise bunun tam tersidir

0 hariç 1,2,3,4

gibi giden sayılara da pozitif tam sayılar denir

Z üzeri artı (+) ile gösterilir

0=başlangıç noktasıdır

ne pozitiftir ne negatiftir eğer bir sayıda bu işareti görürseniz ``||`` mutlak değerdir

Anlamı ise mutlak degerin içine yazılan sayının başlangıç noktası olan ^0^ a olan uzaklıgıdır

|-3|=3 (-3 ün sıfıra olan uzaklığı 3 birimdir) |+3|=3(+3 ün sıfıra olan uzaklığı 3 birimdir

)

3

Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar
Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her
reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir

Ü a < b < 0 < c < d olmak üzere,
a, b negatif sayılardır

c, d pozitif sayılardır

İki pozitif sayının toplamı pozitiftir

(c + d > 0)
İki negatif sayının toplamı negatiftir

(a + b < 0)
Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif,
eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur

m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır

Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük
sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir

Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir

Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır

Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir

Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir

Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir

Tam sayılar
Tam sayılar, doğal sayılar (0, 1, 2,

) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3,

; -0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz)

Matematikte tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da şeklinde gösterilir)

Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir

tamsayılarda toplama: tam sayılarda toplama yapılırken sayılar pozitifse toplanır sonuca yazılır

ikiside negatifse toplama yapılır fakat sonuç negatif olur

zıtsa birbirinden çıkarılır

büyüğün işareti verilir

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken aynı işaretlilerin çarpımı pozitif farklı işaretlilerin çarpımı ise negatifdir

Bölme işlemindede aynı çarpma kuralı uygulanır ve sayı aynı doğal sayılarda olduğu gibi bölünür

aynı işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde sonuç pozitif,zıt işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde ise sonuç negatiftir

tam sayıların sıfıra bölümü tanımsızdır

sıfırın tam sayılara bölümünde elde edilen sonuç ise sıfırdır

pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür

Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür

En büyük negatif tam sayı -1'dir

En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir

Mutlak değer sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder

Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir

Mutlak değer içindeki her sayı mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar

çıkarma işleminde ise eksilene dokunulmaz diğer elemanlar (-)ise(+) (+)ise(-) yapılır böylece çıkarma işemini yapabiliriz (-)+(+) örnek sorular: 1:ardışık 4 çift sayının toplamı 204'tür

Buna göre, bu sayının en küçüğü kaçtır? A:46 B:48 C:50 D:52
Geleneksel olarak, sayı birçokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir

Fakat modern matematikte artık büyüklük belirtmediği halde geleneksel sayıların çeşitli özelliklerine benzer özellikler taşıyan nesnelere de sayı denmesi adettendir

• Doğal sayılar 0′dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır

Matematikte doğal sayılar kimesi N ile gösterilir

N={0, 1, 2, 3,…}

Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir

• Sayma sayıları 1′den başlayarak sonsuza kadar giderler

Doğal sayılardan farkları “0″ sayısını içermemeleridir

Bunun mantığı herhangi bir şeyi (örneğin kalemleri) sayarken 0′dan değil birden başlanmasıdır

• Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler

Yani “0″ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar

Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir

Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

• Başında “+” işareti bulunan veya birşey bulunmayan sayılar pozitif tamsayılar adını alırlar

0′ın sağ yanında yer alırlar

Tüm sayma sayıları pozitif tam sayılardır

Pozitif tamsayılar kümesi N+ ile gösterilir

Z+={+1, +2, +3,…}

• Başında “-” işareti olan tam sayılar negatif tamsayılar adını alırlar

0′ın sol yanında yer alırlar

Negatif tamsayılar kümesi N- ile gösterilir

Çıkarma işlemini kolaylaştırmak için geliştirilmişlerdir

Z-={…, -4, -3, -2, -1}

• 0 negatif veya pozitif bir tam sayı değildir

Bu iki kümeden herhangi birinde yer almaz

• Tam sayılar kullanılarak oluşturulan kesirlere denk gelen büyüklüklere rasyonel sayılar denir

Hisseli hesapları kolaylaştırmak için sayı kavramına dahil edilmişlerdir

SAYILAR RAKAM
ayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir

SAYI:Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşan ifadeye denir

SAYI KÜMELERİ DOĞAL SAYILAR:
N+={0,1,2,3

}kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir

SAYMA SAYILARI:
N+={1,2,3

}kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir

TAMSAYILAR:Z={

-3,-2,-1,0,1,2,3

}kümesinin elemanlarına tamsayılar denir

Z-={

-4,-3,-2,-1}kümesine negatif tamsayılar denir

Z+={1,2,3,4

}kümesine pozitif tamsayılar denir

NOTIFIR BİR TAMSAYIDIR

FAKAT POZİTİF VEYA NEGATİF DEĞİLDİR

RASYONEL SAYILAR:
a ve b birer tamsayı ve b≠0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen rakamlara denir

Rasyonel sayılar kümesi Q={a/b:a,bєZ ve b≠0} şeklinde gösterilir

İRRASYONEL SAYILAR:Rasyonel olmayan sayılara denir

Diğer bir ifadeyle virgülden sonrası kesin bilinmeyen sayılara denir

İrrasyonel sayılar kümesi Q1={a/b şeklinde yazılamayan sayılar:a,bєZ ve b≠0}şeklinde gösterilir

REEL SAYILAR:Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye denir

Reel sayılar kümesi R=QUQ1 şeklinde gösterilir

TAMSAYI ÇEŞİTLERİ
ÇİFT SAYI,
TEK SAYI N bir tamsayı olmak şartıyla;2n genel ifadesiyle belirtilen tamsayılara çift sayı,2n-1 genel ifadesiyle belirtilen tamsayılara tek sayı denir

Ç={

-2,0,2,4,6

} T={-3,-1,1,3,5,7

}şeklinde gösterilir

T tek,Ç çift sayı olmak üzere; TŦT=Ç T*T=T nєZ+ TŦÇ=Ç T*Ç=Ç Tn=T Ç ŦÇ=Ç Ç*Ç=Ç Çn=Ç

POZİTİF SAYI,NEGATİF SAYI Sıfırdan küçük sayılara negatif sayı,sıfırdan büyük sayılara pozitif sayı denir

10-29-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Sayı Nedir? Negatif Ve Pozitif Sayılar Sayı nedir? Sayı bir düşünce aracıdır, bir fikirdir Sayılarla çok farklı eşya kümelerini karşılaştırabiliriz Sayılar sayma işleminin arkasındaki fikirdir Fiziksel olarak, bir şey sayılarla ifade edilemiyorsa, bilim değildir Rakam nedir? Rakamlar sayıları göstermek için kullandığımız sembollerdir Negatif ve pozitif sayılar POZİTİF SAYI,NEGATİF SAYI Sıfırdan küçük sayılara negatif sayı,sıfırdan büyük sayılara pozitif sayı denir -1,-2,-3 gibi giden sayılara negatif tam sayılar denirZ üzeri eksi(-) ile gösterilir pozitif sayılar ise bunun tam tersidir0 hariç 1,2,3,4gibi giden sayılara da pozitif tam sayılar denirZ üzeri artı (+) ile gösterilir 0=başlangıç noktasıdırne pozitiftir ne negatiftir eğer bir sayıda bu işareti görürseniz ``\|\|`` mutlak değerdir Anlamı ise mutlak degerin içine yazılan sayının başlangıç noktası olan ^0^ a olan uzaklıgıdır \|-3\|=3 (-3 ün sıfıra olan uzaklığı 3 birimdir) \|+3\|=3(+3 ün sıfıra olan uzaklığı 3 birimdir) 3 Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir Ü a < b < 0 < c < d olmak üzere, a, b negatif sayılardır c, d pozitif sayılardır İki pozitif sayının toplamı pozitiftir (c + d > 0) İki negatif sayının toplamı negatiftir (a + b < 0) Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir Tam sayılar Tam sayılar, doğal sayılar (0, 1, 2, ) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ; -0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz) Matematikte tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da şeklinde gösterilir) Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir tamsayılarda toplama: tam sayılarda toplama yapılırken sayılar pozitifse toplanır sonuca yazılırikiside negatifse toplama yapılır fakat sonuç negatif olurzıtsa birbirinden çıkarılırbüyüğün işareti verilir Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken aynı işaretlilerin çarpımı pozitif farklı işaretlilerin çarpımı ise negatifdir Bölme işlemindede aynı çarpma kuralı uygulanır ve sayı aynı doğal sayılarda olduğu gibi bölünüraynı işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde sonuç pozitif,zıt işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde ise sonuç negatiftirtam sayıların sıfıra bölümü tanımsızdırsıfırın tam sayılara bölümünde elde edilen sonuç ise sıfırdır pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyürNegatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür En büyük negatif tam sayı -1'dirEn küçük pozitif tam sayı ise +1'dir Mutlak değer sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade ederBaşlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir Mutlak değer içindeki her sayı mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar çıkarma işleminde ise eksilene dokunulmaz diğer elemanlar (-)ise(+) (+)ise(-) yapılır böylece çıkarma işemini yapabiliriz (-)+(+) örnek sorular: 1:ardışık 4 çift sayının toplamı 204'türBuna göre, bu sayının en küçüğü kaçtır? A:46 B:48 C:50 D:52 Geleneksel olarak, sayı birçokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir Fakat modern matematikte artık büyüklük belirtmediği halde geleneksel sayıların çeşitli özelliklerine benzer özellikler taşıyan nesnelere de sayı denmesi adettendir • Doğal sayılar 0′dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır Matematikte doğal sayılar kimesi N ile gösterilir N={0, 1, 2, 3,…} Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir • Sayma sayıları 1′den başlayarak sonsuza kadar giderler Doğal sayılardan farkları “0″ sayısını içermemeleridir Bunun mantığı herhangi bir şeyi (örneğin kalemleri) sayarken 0′dan değil birden başlanmasıdır • Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler Yani “0″ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} • Başında “+” işareti bulunan veya birşey bulunmayan sayılar pozitif tamsayılar adını alırlar 0′ın sağ yanında yer alırlar Tüm sayma sayıları pozitif tam sayılardır Pozitif tamsayılar kümesi N+ ile gösterilir Z+={+1, +2, +3,…} • Başında “-” işareti olan tam sayılar negatif tamsayılar adını alırlar 0′ın sol yanında yer alırlar Negatif tamsayılar kümesi N- ile gösterilir Çıkarma işlemini kolaylaştırmak için geliştirilmişlerdir Z-={…, -4, -3, -2, -1} • 0 negatif veya pozitif bir tam sayı değildir Bu iki kümeden herhangi birinde yer almaz • Tam sayılar kullanılarak oluşturulan kesirlere denk gelen büyüklüklere rasyonel sayılar denir Hisseli hesapları kolaylaştırmak için sayı kavramına dahil edilmişlerdir SAYILAR RAKAM ayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir SAYI:Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşan ifadeye denir SAYI KÜMELERİ DOĞAL SAYILAR: N+={0,1,2,3}kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir SAYMA SAYILARI: N+={1,2,3}kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir TAMSAYILAR:Z={-3,-2,-1,0,1,2,3}kümesinin elemanlarına tamsayılar denir Z-={-4,-3,-2,-1}kümesine negatif tamsayılar denir Z+={1,2,3,4}kümesine pozitif tamsayılar denir NOTIFIR BİR TAMSAYIDIRFAKAT POZİTİF VEYA NEGATİF DEĞİLDİR RASYONEL SAYILAR: a ve b birer tamsayı ve b≠0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen rakamlara denirRasyonel sayılar kümesi Q={a/b:a,bєZ ve b≠0} şeklinde gösterilir İRRASYONEL SAYILAR:Rasyonel olmayan sayılara denirDiğer bir ifadeyle virgülden sonrası kesin bilinmeyen sayılara denirİrrasyonel sayılar kümesi Q1={a/b şeklinde yazılamayan sayılar:a,bєZ ve b≠0}şeklinde gösterilir REEL SAYILAR:Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye denirReel sayılar kümesi R=QUQ1 şeklinde gösterilir TAMSAYI ÇEŞİTLERİ ÇİFT SAYI, TEK SAYI N bir tamsayı olmak şartıyla;2n genel ifadesiyle belirtilen tamsayılara çift sayı,2n-1 genel ifadesiyle belirtilen tamsayılara tek sayı denir Ç={-2,0,2,4,6} T={-3,-1,1,3,5,7}şeklinde gösterilir T tek,Ç çift sayı olmak üzere; TŦT=Ç TT=T nєZ+ TŦÇ=Ç TÇ=Ç Tn=T Ç ŦÇ=Ç Ç*Ç=Ç Çn=Ç POZİTİF SAYI,NEGATİF SAYI Sıfırdan küçük sayılara negatif sayı,sıfırdan büyük sayılara pozitif sayı denir