Cauchy-Riemann Denklemleri

Karmaşık türevlilik [değiştir]

Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorf) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §12 ) Daha ayrıntılı bir şekilde,

f(z) = u(z) + iv(z)

z ∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa

olarak tanımlanır

Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h → 0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir Reel eksen boyunca yaklaşılırsa

elde edilir Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa

elde edilir İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği

ifadesini verecektir Farkedilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir

Tersine, f:C → C, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir

Diğer temsiller

Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman 'nin birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de

eşitlikleri sağlanır Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler

halini alır

f için bu iki denklem birleştirildiğinde

elde edilir

Homojen olmayan denklemler

Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur:

Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2)

Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir Aslında Cauchy integral formülü kullanılarak her ζ ∈ D için

ifadesi elde edilir