Cauchy-Riemann Denklemleri

Genelleştirmeler

Goursat teoremi ve genelleştirmeleri

f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun O zaman Goursat teoremi, f 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 112) Özelde, f 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §910, Al 1)

Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir f=u+iv açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve f 'nin Ω'da x ve y 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde f holomorftur (ve bu yüzden analitiktir) Bu sonuç Looman–Menchoff teoremi olarak bilinir

f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela f(z) = z5/|z|4) Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf 107'dedir):

Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir

Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),

f(z), Ω ⊂ C açık bölgesinde yerel olarak integrallenebiliyorsa ve zayıf bir şekilde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f, Ω içindeki analitik bir fonksiyonla hemen hemen her yerde aynıdır

Çok değişkenler

Cauchy-Riemann denklemlerinin çok karmaşık değişkenlere uygun genelleştirmeleri de vardır Kısmi diferansiyel denklemleri önemli bir artık belirtilmiş sistemlerini oluştururlar Çoğu zaman formüle edildiği gibi

d-bar operatörü holomorf fonksiyonları imha eder Bu doğrudan

alınarak şu genelleştirmeyi yapar: