Taylor Serisi

Yakınsaklık



Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır



log(1+x) için Taylor çokterimlisi sadece −1 < x ≤ 1 aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır x > 1 için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin daha kötü yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız

Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların Frechet uzayında bir eksik kümedir Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz

Bir f fonksiyonunun yakınsak Taylor serisinin limiti genelde f(x)'in fonksiyon değerine eşit olmak zorunda olmamasına rağmen pratikte eşittir Örneğin;

fonksiyonu x=0'da sonsuz türevlidir ve bu noktadaki tüm türevleri sıfırdır

Analitik fonksiyonlar



e −1/x²'nin grafiği

Eğer seri belirtilen aralıktaki her x noktasında f(x)'e yakınsıyorsa f(x) analitik bir fonksiyon olarak adlandırılır Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir Örneğin, f(x) =e −1/x², x ≠ 0 ve f(0) = 0 fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır

Kullanım Alanları

Taylor serileri, fonksiyonların (ör logaritma) verilen bir noktadaki sayisal değerlerini bulmak için kullanılabilirler Buna ek olarak, türev ya da integral de işlemleri seriye açılıp daha kolay işlem yapılabimektedir