Özdeşlik Teoremi - Özdeşlikler

Özdeşlik Teoremi

Karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar için özdeşlik teoremi, bağlantılı açık bir D kümesi üzerinde verilmiş olan f ve g gibi iki holomorf fonksiyon D içindeki bir z noktasının komşuluğunun üzerinde eşit olursa (yani f = g ise), o zaman bu iki fonksiyonun D üzerinde eşit olduklarını ifade eder Bu yüzden, holomorf bir fonksiyon tamamiyle, D içinde muhtemelen çok küçük bir komşuluktaki değerleriyle belirlenir Bu durum, gerçel türevlenebilir fonksiyonlar için doğru değildir Karşılaştırıldığında, holomorfi veya karmaşık türevlenebilirlik, daha esnek olmayan bir fikirdir Matematik gösteriminin dışında bir dil kullanılırsa, sürekli fonksiyonlar "yumuşak" olarak değerlendirilirse holomorf fonksiyonlar "sert"tir

Teoremin altında destek olan fikir holomorf fonksiyonların Taylor serilerinin içinde geliştirilebilmesidir

Kanıt

D bölgesi üzerindeki bağlantılılık varsayımı gereklidir ve aslında kısa bir kanıtın anahtarıdır (Açıkçası, D iki açık ve ayrık kümeden oluşursa, sonuç burada doğru olmaz) Bu varsayım altında, verilen küme boş olmadığı için, topoloji açısından iddia, f ve g 'nin hem açık hem de kapalı olan bir küme üzerinde eşit oldukları anlamına gelir Burada kapalılık, f ve g 'nin sürekliliğinden ileri gelmektedir

Bu yüzden, ana fikir f ve g 'nin birbirine eşit olduğu açık kümeyi göstermektir Bir holomorf fonksiyon kendi tanım kümesindeki her yerde kendi Taylor serisi vasıtasıyla temsil edilebildiği için kümesini göz önüne almak yeterlidir

w , S 'nin içinde bir nokta olsun O zaman, f ve g 'nin Taylor serileri pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip olduğundan, belli bir r için Br(w) açık diski de S içinde yer alır (Aslında r, w 'nin D 'nin sınırına olan uzaklığından küçük herhangi bir sayı olabilir) Bu S 'nin açık olduğunu gösterir ve teoremin kanıtını verir

Bir iyileştirme

Teoremin varsayımları aynı sonucu üretecek şekilde hafifçe gevşetilebilir Belirli bir şekilde, D üzerindeki iki holomorf fonksiyon, D içindeki yığılma noktası (bu nokta c olsun) olan bir kümede aynıysa, o zaman D üzerinde f=g 'dir

Bunu kanıtlamak için, her k ≥ 0 için f(k)(c) = g(k)(c) olduğunu göstermek yeterlidir Eğer böyle olmazsa, m , f(m)(c) ≠ g(m)(c) eşitsizliğini sağlayan negatif olmayan en küçük tamsayı olsun Holomorfi dolayısıyla, c 'nin açık bir komşuluğunda aşağıdaki Taylor serisi temsili vardır:

Bariz bir şekilde, h, c etrafındaki açık bir B diskinde sıfır değeri almaz Ancak, bu halde, delikli B - {c} kümesi üzerinde f - g ≠ 0 olur Ama bu da c 'nin yığılma noktası olmasıyla {f = g} çelişir ve bu yüzden iddia kanıtlanır

Teoremin bu formülasyonu, karmaşık bir a sayısı için f = a olmadıkça f -1(a) 'nın ayrık (ve sayılabilir) bir küme olduğunu gösterir