|
Prof. Dr. Sinsi
|
Köklü Sayılar, Köklü İfadeler, Köklü Sayıların Özellikleri İle İlgili Konu Anlatımlar
KÖKLÜ SAYILAR, KÖKLÜ İFADELER, KÖKLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)
Üslü ifadelerde negatif veya pozitif reel sayıların tam sayı olan kuvvetlerini tanımlamıştık Bir üslü ifadenin değerini bulmayı biliyoruz
Örneğin;(-2)2=(-2)(-2)=4, (2)=22=4 tür
Burada karesi 4 olan iki reel sayı vardır Bunlardan negatif olanı (-2), pozitif olanı da (+2) dir Bunun gibi karesi 9 olan sayılar (-3) ve (+3) tür Fakat karesi -4 ve -3 olan reel sayı yoktur Genelleyecek olursak; "xÎR+ için karesi x olan biri negatif diğeri pozitif iki reel sayı vardır Değeri ve üssü verilen üslü ifadelerin tabanını bulma işlemine kök alma işlemi denir
TANIM:karesi aÎR+ e eşit olan iki sayıdan negatif olanına a nın negatif karekökü, pozitif olanına a nın pozitif karekökü denir Negatif karekök “-Öa”; pozitif karekök “Öa” ile gösterilir Yani(Öa)2=(-Öa)2=a dır
Örneğin; x2=16 nın pozitif karekökü x=Ö16=4, negatif karekökü x=-Ö16=-4
(Öa)2=Öa2 ifadesi bazen “a” ya eşit değildir Örneğin;
Öa2 ifadesi daima pozitiftir Öa2³0 olur
Ö4=2 nin doğru olduğuna, Ö4=-2 nin yanlış olduğuna dikkat ediniz
Teorem:bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının mutlak değerine eşittir
"xÎR için Öx2=½x½ tir
İspat;
1 x³0 için ½x½ve Öx2 =x tir o halde, Öx2 =½x½olur
2 x<0 için ½x½=-x ve Öx2 =-x tir (-x>0) o halde, Öx2 =½x½olur
Örnek: x<2 ise Öx2 -4x+4 ifadesi neye eşittir?
Çözüm: Öx2 -4x+4 = Ö(x-2)2 = ½x-2½(Öx2 =½x½)
X<2 ise x-2<0 olur Bu durumda, ½x-2½=-(x-2)=-x+2 bulunur
Örnek: x<0<y ise Öx2+Öy2-Ö(x-y)2 işleminin sonucunu bulunuz
Çözüm: Öx2 = ½x½, Öy2 =½y½ ve Ö(x-y)2 =½x-y½ dir
X<0 Þ½x½=-x
Y<0 Þ½y½=y
X<y Þ x-y<0 Þ½x-y½=-(x-y)=-x+y dir
Öyleyse, Öx2+Öy2-Ö(x-y)2 =½x½+½y½-½x-y½=-x+y+x-y=0 bulunur
Örnek: 3<x<4 ise Öx2-8x+16 +Öx2-6x+9 -½3-x½işleminin sonucunu bulunuz
Çözüm: Öx2-8x+16 =Ö(x-4)2 =½x-4½, Öx2-6x+9 =Ö(x-3)2 =½x-3½ tür
X<4 Þ x-4<0 olup ½x-4½=-x+4 ve
x>3 Þ x-3>0 olup ½x-3½=x-3 olur
x>3 Þ½3-x½=-3+x tir
Öx2-8x+16 +Öx2-6x+9 -½3-x½=½x-4½+½x-3½-½3-x½=-x+4+x-3-(-3+x)
=1+3-x=4-x bulunur
KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ
Kareköklü ifadeleri toplamak veya çıkarmak için kök içindeki terimler benzer olmalıdır Benzer olan terimlerin kat sayıların toplamı veya farkı, o terimlere kat sayı olarak yazılır
aÖb -cÖb +dÖb =Öb(a-c+d) olur
Örnekler:
1 3Ö3-4Ö3+7Ö3=(3-4+7)Ö3
2 Ö75 -2Ö48 -3Ö27 =2Ö253 -2Ö163 -3Ö93 =25Ö3 -24Ö3 -33Ö3
=10Ö3 -8Ö3 -9Ö3 =(10-8-9)Ö3 =-7Ö3
3 Ö5/3+2Ö5-3Ö5/2 =(1/3+2-3/2)Ö5 =(2+12-9/6)Ö5 =5/6Ö5
EŞLENİK İFADELERİN ÇARPIMI
a,bÎR+ için
1 Öa nın eşleniği Öa dır
2 Öa +Öb nin eşleniği Öa-Öb dir
Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel ifadeden her birine diğerinin eşleniği denir Eşlenik iki ifadenin çarpımı, birinci terimin karesinden ikinci terimin karesinin farkına eşittir Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılırsa,
(Öa+Öb)(Öa-Öb)=Öa(Öa-Öb)+Öb(Öa-Öb)=a-Öab +Öab –b=a-b olur
Örnek:
1 (Ö5 -2Ö3)(Ö5 +2Ö3)= Ö5(Ö5 +2Ö3)-2Ö3(Ö5 +2Ö3)=5+2Ö15 -2Ö15 -43=-7
2 (4+2Ö7)(4-2Ö7)=42-(2Ö7)2=16-28=-12
3 (x+Ö5)(x-Ö5)=(x2)-( Ö5)2=x2-5 olur
PAYDAYI RASYONEL YAPMA
Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin paydasını rasyonel yapmak için paydanın eşleniği ile pay ve paydayı çarparız
Örnek:
1 3/Ö3=3 Ö3/Ö3 Ö3=3Ö3/Ö32=Ö3
2 1/Ö5-Ö3=1( Ö5+Ö3)/ (Ö5-Ö3)( Ö5+Ö3)= Ö5+Ö3/(Ö5)2-(Ö3)2=Ö5+Ö3/5-3=Ö5+Ö3/2
3 7/2Ö2-1=7(2Ö2+1)/(2Ö2-1)(2Ö2+1)=7(2Ö2+1/(2Ö2)2-(1)2=7(2Ö2+1)/8-1=7(2Ö2+1)/7
=2Ö2+1
KAREKÖKLÜ BİR İFADENİN SADELEŞTİRİLMESİ
Örnek: (Öa3)6( Öa-3)4 ifadesini sadeleştiriniz
Çözüm: a-3=1/a3 yazılabileceğini biliyoruz(x-n=1/xn kuralına göre)
(Öa3)6( Ö1/Öa3)4=Öa18 Ö1/Öa12=Öa181/a12=Öa6=Ö(a3)2 =½a3½ bulunur
Örnek: Öab-3c-2 Öab5c3 ifadesini sadeleştiriniz
Çözüm: Öab-3c-2 Öab5c3 =Öa2b5c3/Öb3c2 =Öa2b2c =½ab½Öc bulunur
KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN ÇARPIMI
a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için ÖaÖb=Öab dir
Kareköklü iki terimin çarpımı, bu terimlerin çarpımının kareköküne eşittir
Örnek:
1 Ö3 Ö5 =Ö35 =Ö15
2 2Ö3 3Ö2 =(23) Ö32 =6Ö6
3 Ö3 Ö6 Ö2 =Ö362 =Ö36 =6
KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN BÖLÜMÜ
a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için Öa/Öb =ÖA/B dir
Kareköklü iki terimin bölümü, bu terimlerin bölümünün kareköküne eşittir
Örnek:
1 Ö60 /Ö15 =Ö60/15 =Ö4 =2
2 Öx7/Öx5=Öx7/x5 =Öx2 =½x½
3 Ö21/Ö7 =Ö21/7=Ö3
KAREKÖKLÜ BİR TERİMİN n KUVVETİ
Kareköklü bir terimin “n” Kuvveti bulunurken, verilen ifadenin karekökü alınarak terimin “n” Kuvveti bulunur ve ele edilen terimin karekökü alınır
xÎR+ ve n ÎZ+ olmak üzere, (Öx)n=Öxn ir
İspat: xÎR+, nÎZ+ için Öx in “n” Kuvveti,
(Öx)n=Öx Öx Öx…Öx=Öxxx…x =Öxn olur
Örnek:
1 (Ö5)4=Ö54=Ö(52)2=52=25
2 (Ö3)3( Ö6)5=Ö33 Ö65 =Ö33(23)5 Ö332535 =Ö3825
=Ö(34)2(22)22=3422 Ö2 =324Ö2
3 (Ö1/2)-4=Ö1/2-4 =Ö24 =Ö(22)2 =22 =4
REEL SAYILARIN RASYONEL KUVVETİ
Tanım: a³0 reel sayısı verilsin n ÎZ+ için xn=a olacak şekilde bir xÎR+ sayısı varır
Bu sayıyı a nın “n” Kuvvetten kökü denir ve xn =a Û x=nÖa biçimine gösterilir
x2=m eşitliğini gerçekleyen x=Öm değerine, karekök m,
x3=m eşitliğini gerçekleyen x=3Öm değerine, küpkök m,
x4=m eşitliğini gerçekleyen x=4Öm değerine, 4 dereceden kök m denir
Şimdide nÖam biçimindeki bir ifadeyi üslü şekle yazalım m=kn alalım:
nÖam =nÖank =nÖ(ak)n =ak dır
m=kn Þk=m/n dir ak da k yerine m/n yazalım ak =am/n bulunur O halde, nÖam=am/n dir
örnek:
1 Öx =x1/2
2 3Öx2 =x2/3
3 4Ö(x+y)3 =(x+y)3/4
köklü bir terimi üslü biçimde yazarken, terimin üssü pay, kökün derecesi payda alınarak elde edilen rasyonel sayı verilen terime üs olarak yazılır
xn=a denkleminde n tek doğal sayı ise çözüm kümesi: x=nÖa dir
xn=a denkleminde n çift doğal sayı ise çözüm kümesi: x=±nÖa dır
öyleyse, x=nÖa ifaesi,
1 n tek doğal sayı ve x reel sayıdır
2 n çift doğal sayı ve a³0 ise x reel sayıdır
3 n çift doğal sayı ve a<0 ise x reel sayı değildir
7Ö-128, 3Ö-27, 5Ö-1 sayıları reel sayıdır
Ö25, 4Ö16, 4Ö8 sayıları reel sayılardır
Ö-1, Ö-4, Ö-9 sayıları reel sayı değildir
KÖKLÜ BİR TERİMİN KUVVETİ
nÖa gibi köklü bir terimin “m” Kuvveti, (nÖa)m = nÖanÖanÖa…nÖa = nÖaaa…a =nÖam olur
Öyleyse, (nÖa)m = nÖam dir
Örnek:
1 (3Öxy)2 =3Ö(xy)2 =3Öx2y2
2 (3Öa)4=3Öa4 =3Öa3a=a3Öa (nÖanb=anÖb dir )
3 (5Ö4)3 =5Ö43=5Ö(22)3 =5Ö26=5Ö252 =25Ö2
KÖKLÜ BİR TERİMİN KÖKÜ
Bir terimin “m” Kuvvetten kökünün tekrar “n” Kuvvetten kökü, bu terimin (mn) inci kuvvetten köküne eşittir nÖx in tekrar “m” Kuvvetten kökü: mÖnÖx =mnÖx dir Bu eşitliğin doğruluğunu gösterelim:
mÖnÖx=(nÖx)1/m =nÖx1/m =(x1/m)1/n =x1/mn =mnÖx olur
Öyleyse, mÖnÖx =mnÖx tir
Örnekler:
1 3Ö4ÖÖa3 =3Ö42Öa3 =3Ö8Öa3 =24Öa3 =8Öa
2 4Ö5Ö53Ö52 =423Ö(52)35352 =24Ö565352 =24Ö511 bulunur
KÖKLÜ İFADELERİN ÇARPILMASI
Kök kuvvetleri aynı olan ifadelerin çarpımı, bu ifadelerin çarpımının aynı kuvvetten köküne eşittir
Teorem: a,b ÎR+ ve n ÎN+ ise nÖanÖb =nÖab dir
İspat: nÖanÖb =nÖab dir eşleniğinin her iki yanının n Kuvvetini alalım
(nÖanÖb)n =(nÖab)n Þ(nÖa)n(nÖb)n =ab ve (nÖab)n =nÖanbn =ab dir
Örnek: 3Ö2a 3Ö4a2 işleminin sonucunu bulunuz
Çözüm: 3Ö2a3Ö4a2 =3Ö2a4a2 =3Ö8a3 =3Ö23a3 =3Ö(2a)3=2a dır
Teorem: x,y ÎR+, m,n,k ÎZ+ olmak üzere 1 nÖxm =nkÖxmk 2 nÖxm=n/kÖxm/k
3mÖxnÖy=mnÖxnmnÖym=mnÖxnym 4 mÖx/nÖy=mnÖxn/mnÖym=mnÖxn/ym dir
kök kuvvetleri farklı olan köklü ifadeleri çarpmak için önce kök kuvvetleri eşitlenir sonra çarpma işlemi yapılır
KÖKLÜ İFADELERİN BÖLÜNMESİ
Kök kuvvetleri aynı olan köklü iki ifadenin bölümü, bu ifadenin bölümlerinin aynı kuvvetten köküne eşittir
Teorem: a,b ÎR+ ve nÎN+ ise nÖa/nÖb =nÖa/b ir
İspat: her iki tarafın n Kuvvetten kökünü alalım:
(nÖa/nÖb)n =(nÖa/b)n Þ (nÖa)n/(nÖa)n =a/b Þa/b=a/b dir
örnek:
1 Ö18a5/Ö2a3 =Ö18a5/2a3 =Ö9a2 =3a dır
2 3Ö54a4b5/3Ö2ab2 =3Ö54a4b5/2ab2 =3Ö27a3b3 =3ab dir
|