Kümeler, Çeşitleri Ve Özellikleri

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-29-2012

A

TANIM

• Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir

• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir

• Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir

a elemanı A kümesine ait ise, a A biçiminde yazılır

“ a, A kümesinin elemanıdır

” diye okunur

b elemanı A kümesine ait değilse, b A biçiminde yazılır

“ b, A kümesinin elemanı değildir

” diye okunur

• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır

• Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez

• A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir

B

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir

1

Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır

A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür

2

Ortak Özelik Yöntemi

Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir

3

Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir

C

EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir

Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C D

biçiminde gösterilir

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir

Fakat denk kümeler eşit olmayabilir

D

BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir

Boş küme { } ya da sembolleri ile gösterilir

{} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

E

ALT KÜME - ÖZALT KÜME

1

Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A B biçiminde gösterilir

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir

B A biçiminde gösterilir

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C D biçiminde gösterilir

2

Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir

3

Alt Kümenin Özelikleri

I) Her küme kendisinin alt kümesidir

A A

II) Boş küme her kümenin alt kümesidir

A

III) (A B ve B A) A = B dir

IV) (A B ve B C) A C dir

V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir

VI) n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı (n r) alt kümelerinin sayısı

F

KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

1

Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir

A B = {x : x A veya x B} dir

2

Birleşim İşleminin Özelikleri

I) A = A

II) A A = A

III) A B = B A

IV) A (B C) = (A B) C

V) A B ise, A B = B

VI) A B = ise, (A = ve B = ) dir

3

Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir

A B = {x : x A ve x B} dir

4

Kesişim İşleminin Özelikleri

I) A =

II) A A = A

III) A B = B A

IV) (A B) C = A (B C)

V) A (B C) = (A B) (A C)

VI) A (B C) = (A B) (A C)

G

EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir

Evrensel küme genellikle E ile gösterilir

H

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ya da Aı ile gösterilir

= {x : x E ve x A, A E} dir

Tümleyenin Özelikleri

I

KUVVET KÜMESİ

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir

Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir

J

İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir

A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir

A – B = {x : x A ve x B} dir

Farkla İlgili Özelikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

10-29-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Kümeler, Çeşitleri Ve Özellikleri A TANIM • Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir • Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir • Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir a elemanı A kümesine ait ise, a A biçiminde yazılır “ a, A kümesinin elemanıdır” diye okunur b elemanı A kümesine ait değilse, b A biçiminde yazılır “ b, A kümesinin elemanı değildir” diye okunur • Kümede, aynı eleman bir kez yazılır • Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez • A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir B KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir 1 Liste Yöntemi Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür 2 Ortak Özelik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir A = {x : (x in özelliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur Bu ifade “x \|” biçiminde de yazılabilir 3 Venn Şeması Yöntemi Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir C EŞİT KÜME, DENK KÜME Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir A kümesi B kümesine eşit ise A = B, C kümesi D kümesine denk ise C D biçiminde gösterilir Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir D BOŞ KÜME Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir Boş küme { } ya da sembolleri ile gösterilir {} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir E ALT KÜME - ÖZALT KÜME 1 Alt Küme A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A B biçiminde gösterilir A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir B A biçiminde gösterilir C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C D biçiminde gösterilir 2 Özalt Küme Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir 3 Alt Kümenin Özelikleri I) Her küme kendisinin alt kümesidir A A II) Boş küme her kümenin alt kümesidir A III) (A B ve B A) A = B dir IV) (A B ve B C) A C dir V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir VI) n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı (n r) alt kümelerinin sayısı F KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER 1 Kümelerin Birleşimi A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir A B = {x : x A veya x B} dir 2 Birleşim İşleminin Özelikleri I) A = A II) A A = A III) A B = B A IV) A (B C) = (A B) C V) A B ise, A B = B VI) A B = ise, (A = ve B = ) dir 3 Kümelerin Kesişimi A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir A B = {x : x A ve x B} dir 4 Kesişim İşleminin Özelikleri I) A = II) A A = A III) A B = B A IV) (A B) C = A (B C) V) A (B C) = (A B) (A C) VI) A (B C) = (A B) (A C) G EVRENSEL KÜME Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir Evrensel küme genellikle E ile gösterilir H BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ya da Aı ile gösterilir = {x : x E ve x A, A E} dir Tümleyenin Özelikleri I KUVVET KÜMESİ Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir J İKİ KÜMENİN FARKI A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir A – B = {x : x A ve x B} dir Farkla İlgili Özelikler A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,