Poisson Dağılımı

Önce, değişkenler hesabı (calculus) içinde kullanılan limitin şöyle ifade edildiğı hatırlanır:

p = λ/n eşitliği bu ifade içine konulursa, şu genel denkleme varılır:

Şimdi bu son ifade biraz daha açılır ve şu elde edilir:

Limitte, ilk parantez içindeki ifade 1 e yakınsama gösterir (yani n ∞'a yaklaştıkça, ilk parantezdeki ifade 1'e yakınsar ) ve ikinci parantez içindeki ifade, ifade içinde n olmaması nedeniyle, sabit kalır; üçüncü parantez içindeki ifade e−λ değerine yakınsar ve son olarak da dördüncü parantezdeki ifade, 1 e yakınsar Sonuçta, limitte şu ortaya çıkar:

Daha genel olarak, n ve pn parametreleri olan binom rassal değişkenler için bir sıra Binom ifadesi

olursa, bu seri dağılımda ortalaması λ olan bir Poisson rassal değişkeni için serilere yakınlaşır

Özellikler

Poisson dağılımı gösteren rassal bir değişken için beklenen değer ve varyans değeri de λdır Poisson dağılımının yüksek momentleri λ terimleri ile oluşan (matematiksel kombinatorik kuramında anlamlı olan katsayıları bulunan) Touchard polinomlarıdır Eğer Poisson dağılımı için beklenen değer 1 ise, o zaman Dobinski'nin formülüne göre ninci moment n büyüklüğünde olan set bölünümlerinin sayısına eşittir

Tam sayılı olmayan bir λ lambda parametreli Poisson dağılımı gösteren bir rassal değişkenin mod değeri, λ 'dan küçük olan en büyük pozitif tamsayıya, yani scriptstylelfloor lambda
floor 'ya, eşittir

Poisson dağılımı gösteren rassal değişkenlerin toplamı:

Eğer ifadesi λi parametresi ile Poisson dağılımı gösteriyor ve Xi terimleri bağımsız iseler, o halde ifadesi de parametresi toplama katılan parametre toplamlarından olan bir Poisson dağılımı gösterir

• Beklenen değeri λ olan Poisson dağılımınin moment üreten fonksiyonu şu ifade ile verilir:

• Poisson dağılımı için tüm kümülantlar beklenen değer olan λya eşittirler Poisson dağılımı için ninci faktöriyel moment λn olur

• Poisson dağılımlari sonsuz olarak bölünebilir olasılık dağılımlarıdır

• Poi(λ0) ile Poi(λ) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılımı şöyle ifade edilir;

Poisson dağılımı ile üretilen rassal değişkenlerin simulasyonu

Poisson dağılımlı rassal sayıları üretmek için en basit yollardan birisi Knuth tarafından aşağıdaki gibi bir bilgisayar algoritmasıyla verilmiştir

algoritma poisson rassal sayı üretimi (Knuth):
init:
Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1
do:
k ← k + 1
[0,1] aralığı içinde birörnek dağılımlı rassal sayı u üret ve let p ← p × u
while p ≥ L
return k − 1

Basit olmakla beraber, karmaşıklık λ ile doğrusal olarak oranlıdır Bu sorun etkisini azaltmak için çeşitli diğer algoritmalar geliştirilmiştir