Poisson Dağılımı

İlişkili dağılımlar

• Eğer ve ise, o halde Y = X1 − X2 farkı bir Skellam dağılımı gösterirEğer ve
  
  bağımsızlarsa ve Y = X1 + X2 ise, o zaman Y = yya koşullu X1 dağılımı, bir binom dağılımı olur Özellikle,
  
  olur Daha genel olarak, eğer X1, X2,,Xn rassal değişkenleri, parametreleri
  
  λ1, λ2,, λn olan Poisson dağılımı gösteriyorlarsa, o zaman
• Eğer denemeler sayısı limitte sonsuza doğru yaklaşır ve başarı sayısının beklenen değeri sabit kalırsa, bu binom dağılım limitte Poisson dağılıma yaklaşacağı isbat edilmiştir Bu nedenle Poisson dağılım, eğer nyeterce büyük ve p yeterce küçük ise, bir binom dağılım yerine yaklaşım olarak kullanılabilir Alışılagelen bir kurala göre, eğer n en aşağı 20 ise ve p 0,05e eşit veya daha küçük ise, Poisson dağılımı binom dağılımının iyi bir yaklaşımı olacaktır Bu kurala göre eğer n ≥ 100 ve np ≤ 10 ise, bu yaklaşım mükemmel olur
• Yeter derecede yüksek λ değeri (diyelim λ>1000) için, ortalaması λ ve varyansı λ olan bir normal dağılım, Poisson dağılım için çok iyi bir yaklaşım olur Eğer λ 10dan biraz büyük ise, bu halde normal dağılım ancak uygun bir süreklilik doğrulaması kullanılırsa uygun bir yaklaşım olabilir Başka bir deyim ile, eğer P(X ≤ x) ifadeleri P(X ≤ x + 05) ile değiştirilirse

olur

• Eğer bir sabit zaman aralığı içinde bir hizmet alanına gelenler sayısı, ortalaması λ olan bir Poisson dağılımına uygun ise, o halde gelişler-arası zaman aralıkları, oran parametresi 1 / λ olan, bir üstel dağılım gösterir

Parametre tahmini

Maksimum olabilirlik

ki için n tane ölçülmüş değer kapsayan bir örneklem alınsın Bu örneklemin kökenindeki Poisson dağılım gösteren anakütle için Poisson parametresi olan λ için bir uygun bir kestirim değeri bulunması hesaplama hedefidir

Bu kestirimi maksimum değişebilirlik yöntemi ile bulmak için önce bir log-değişebilirlilik fonksiyonu şöyle biçimlendirilir:

λ ile Lfonksiyonunun türevi alınıp bu türev sıfıra eşitlenirse

ifadesi ortaya çıkar λ için çözüm yapılırsa λ için maksimum-olabilirlilik kestirimini(MOK) şöyle buluruz:

Her gözlem için ortalama λ olduğu için bu ifadenin beklenen değeri de λ olur Bu nedenle bu kestirim λ için bir yansiz kestirim olur Bunun kestirim varyans değeri Cramer-Rao alt sınırına ulaşıp geçtigi için, bu kestirim bir etkin kestirim de olur