Doğrusal Cebir Nedir ?

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-29-2012

Doğrusal cebir

Boşuzay (Dizey)
Cauchy-Schwarz eşitsizliği
Determinant
Doğrusal denklem dizgesi
Dönüşümçarpanı
Hilbert uzayı
Jakobi özdeşliği
Matris (matematik)
Nokta çarpım
Sayıl alan
Sıfır noktası
Simetrik matris
Tersçapraz
Transpoz
Vektör
İlkköşegen toplamı

Doğrusal cebir
Matematiğin, yöneyler (vektör), yöney uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır

Yöney uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur

Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır

Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir

Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır

1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti

1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı

Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı

Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20

yüzyılda yapmıştır

Temelleri
Doğrusal cebirin temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar

Burda sözü edilen yöney, yönü ve büyüklüğü olan bir doğru parçasıdır

Yöneyler vektör olarakta bilinir

Yöneyler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir

Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler

Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir

Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir

2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir

N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır

Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder

Bu vektördeki herbir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz

Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, dizey cebiriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir

Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir

Yöneyler ve Dizeyler

Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir:

Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz:

Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz:

10-29-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Doğrusal Cebir Nedir ? Doğrusal cebir Boşuzay (Dizey) Cauchy-Schwarz eşitsizliği Determinant Doğrusal denklem dizgesi Dönüşümçarpanı Hilbert uzayı Jakobi özdeşliği Matris (matematik) Nokta çarpım Sayıl alan Sıfır noktası Simetrik matris Tersçapraz Transpoz Vektör İlkköşegen toplamı Doğrusal cebir Matematiğin, yöneyler (vektör), yöney uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır Yöney uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20 yüzyılda yapmıştır Temelleri Doğrusal cebirin temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar Burda sözü edilen yöney, yönü ve büyüklüğü olan bir doğru parçasıdır Yöneyler vektör olarakta bilinir Yöneyler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder Bu vektördeki herbir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, dizey cebiriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir Yöneyler ve Dizeyler Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir: Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz: Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz: