Doğrusal Cebir Nedir ?

Nokta çarpım

Matematikte, nokta çarpım veya skaler çarpım, değer olarak iki vektör alan ve sonuç olarak skaler bir değer döndüren işleme denir

a = [a1, a2, … , an]
b = [b1, b2, … , bn] şeklinde gösterilen a ve b vektörlerinin nokta çarpımı şu şekilde bulunur:

Örneğin, a=[3,-2,5] ve b=[-1,-4,2] için
ab= (3 x -1) + (-2 x -4) + (5 x 2) = -3 + 8 + 10 = 15 sonucunu verir

Sayıl alan
Matematikte ve fizikte sayıl alan (skaler) düşünülen uzayın herbir noktasına sayıl bir değer verir Buradaki sayıl değer matematiksel bir sayı veya fiziksel bir nicelik olabilir Fizikte bu tür alanlara örnek olarak; uzayda sıcaklık dağılımı, akışkanda basınç dağılımı ve Higgs alanında olduğu gibi spin sayısı sıfır kuantum alanı gösterilebilir Bu tür alanlar sayıl alan kuramının çalıma konusudur
Fizikte kullanımı
Fizikte, sayıl alanlar çoğunlukla bir alanla belirlenen kuvvetlerin potansiyel enerjisini tanımlamakta kullanılırlar Kuvvet yöneyli (vektörel) bir niceliktir ve sayıl alanın yöntürevini aldığımızda bu kuvveti elde edebiliriz Örnekler:

Potansiyel alanlar (Klasik fizikte kütleçekimsel potansiyel veya elektrik potansiyel) yönsüz alanlardır ve bilindik kuvvetleri tanımlarlar
Meteorolojide kullanılan sıcaklık, nem veya basınç alanları sayıl alanların örneklerindendir

Sıfır noktası

Kartezyen eksenler sisteminde sıfır noktası

Matematikte sıfır noktası (orijin) düz uzayda O harfi ile gösterilen özel bir noktadır Kartezyen eksenler sisteminde eksenlerin kesiştiği nokta sıfır noktasıdır Düz uzayda sıfır noktası herhangi bir uygun nokta olarak seçilebilir Bu seçim işlem sonucunda herhangi bir değişikliğe yol açmayacaktır Sıfır noktası seçilirken genellikle yapılacak işleme göre uygun olan yer seçilir

En çok kullanılan eksen sistemler, iki boyutlu ve üç boyutlu, iki veya üç birbirine dik eksenden oluşur Bu iki veya üç eksenin kesiştiği noktalara sıfır noktası denir ve iki boyutta (0,0), üç boyutta da (0,0,0) ile gösterilir

Sıfır noktasına göre simetri
Bu çizge sıfır noktasına göre simetriktir x=y çizgisine göre yansıması düşünüldüğünde aynı görüntü elde edilir ve simetrik olduğu anlamına gelir



Bir çizgenin y = x çizgisine göre yansıması alındığında eğer aynı çizge elde ediliyorsa bu o çizgenin sıfır noktasına göre simetrik olduğu anlamına gelir Bu durum önce x-eksenine göre sonra da y-eksenine göre çizgenin 180 derece dönderilmesi ile de elde edilir

Simetrik matris

Doğrusal cebirde, transpozu kendisine eşit olan matrislere simetrik matris denir A bir simetrik matris olsun Bu durumda:

Simetrik matrislerin elementleri matris köşegenine göre simetriktir A nın elementleri aij şeklinde gösterilsin Böylece

eşitliği her i ve j indeksi için geçerlidir Örneğin aşağıdaki 3x3 matris simetriktir:

Yukardaki açıklamalardan anlaşılacağı üzere, köşegen bir matris simetriktir

Doğrusal cebirde, gerçel bir simetrik matris gerçek bir iç-çarpım uzayında kendi-döngel (self-adjoint) bir operatörü temsil eder Karmaşık sayılar uzayında buna karşılık gelen operatör, elementleri karmaşık olan Hermitsel (Hermityan) matrisdir Bundan dolayı, simetrik matris denildiğinde, matris elementlerinin gerçel olduğu varsayılır