Matris (Matematik)

Matris çarpımı

Matris çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki matris için matris çarpımı işlemi yapılamaz

Çarpımı istenen iki matris için ilk defa ön-çarpan matris ile art-çarpan matris belirlenmesi gerekirÇünkü çarpma işlemi sayılarda değişmelidir, fakat matrislerde değildirYani genel olarak A ve B matrisi için

AB ≠ BA

AB matris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan; BA matris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur İki matris çarpımı notasyonla belirtilmekle beraber ya AB ya BA ya da hem AB hem BA geçerli olmayabilir

Matris çarpımı için yapılacak ilk işlem iki matrisin şu kurala uyup uymadığını kontrol etmektir:

Matris çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitlerse mümkündür

Yani (pxj) boyutlu A matrisi ile (kxl) boyutlu B matrisinin matris çarpımı AB ancak j=k ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir Bir ek kurala göre de

Eğer matris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisi ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matris sütun sayısı boyutludur

Yani eğer j=k ise, matris çarpımı sonucu AB' matrisi (pxl) boyutludur

Daha sayısal bir örnek olarak A matrisi (2x3) boyutlu ise ve B (3x4) boyutlu ise AB matris çarpımı 3=3 olduğu için geçerlidir ve matris çarpımı işlemi sonuç AB matrisi (2x4) boyutludur Ama BA matris çarpımı işlemi geçerli değildir, çünkü 4≠2



A ve B matrislerinin matris çarpımı AB ifadesinin bir şema ile gösterimi

Matris çarpımının algoritması ilk öğenin i satırı, ikinci öğenin j sütunuyla bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır

A, mxn boyutlu B de nxs boyutlu dizeyler olmak üzere mxs boyutlu sonuç dizey

olarak tanımlanır ve her öğesi

ile bulunur

Örnekler

Çarpmayı, ilk öğenin her satırını bir yöney ve ikinci öğenin her sütununu bir yöney olarak düşünüp ilk öğeyi bir sütun yöney ve ikinci öğeyi bir satır yöney olarak yöney iç çarpımına indirgeyebiliriz Örneğin, ve yöneyleri n boyutlu olmak üzere,

ve

şeklinde düşünüldüğünde çarpım,

biçimini alır Bu şekilde düşünmek kâğıt üzerinde dizeyleri çarparken işe yarayabilir ve zaman kazandırır