Üçgen Geometrisi

Dik üçgen

Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir

Dik Üçgenlerle İlgili Bağıntılar

Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır Bu bağıntıya göre, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir

pisagor bağıntısıda 90 derecenin karşısındaki kenara hipatenüs adı verilirhipotenüsün karesi diğer dik kenarların karesine eşittirtüm bu kenarlar toplanır ve karekökü alınır yani sonuç budur

Özel Dik Üçgenler

Açıya Göre

İkizkenar dik üçgen

45-45-90 Üçgeni

45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların katıdır Oran aşağıdaki gibidir:

İspatı ise çok basittir Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs çıkar

30-60-90 üçgeni ve ispatı

Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır:

Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı ve 60°'nin karşısındaki kenar da 30°'nin karşısındaki kenarın katıdır İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir Aynı zamanda da açıortay olacaktır Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme cm bulunacaktır

22,5-67,5-90 Üçgeni

Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından katı olur

15-75-90 Üçgeni

Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur İspatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılara bölünmesidir

Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün 14 katıdır

Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır Bazı özel üçgenler şunlardır:

3:4:5,

6:8:10,

5:12:13,

8:15:17,

725,

20:21:29,

Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3-4-5 ve 6-8-10)

Ayrıca herhangi bir tek sayıyı kenar uzunluğu olarak belirlersek karesinin ardışık toplamları da diğer iki kenarı verecektir Örnek olarak; 7=>7'nin karesi 49=25+24 7,25,24 şeklinde özel bir dik üçgen vardır 9=>9'un karesi 81=40+41 9,40,41 şeklinde özel bir dik üçgen vardır Ve dik üçgende kenarların tamsayı olduğu koşulda, en kısa kenarı tek sayı ise kalan kenarların bu kurala uyması şarttır