Kuvvet Serisi

Kuvvet serisi


Matematikte (tek değişkenli) kuvvet serisi

şeklinde olan bir sonsuz seridir Bu gösterimde an, n 'inci terimin katsayısı, c bir sabit ve x de c etrafında değerler alan değişkendir Bu sebeple, yukarıdaki gösterimdeki gibi bir kuvvet serisine bazen c merkezli seri de denmektedir

Kuvvet serileri genelde bir fonksiyonun Taylor serisi olarak karşımıza çıkmaktadır c 'nin 0 olduğu da oldukça fazladır ki bu durumların en yaygın örneği ise Maclaurin serisidir O zaman yukarıdaki seri açılımını daha basit bir halde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Bu tür kuvvet serileri karşımıza analizde, kombinatorikte (üreteç fonksiyon adı altında) ve elektrik mühendisliğinde (Z-dönüşümü adı altında) çıkmaktadır Gerçel sayıların ondalık gösterimi de aslında bir kuvvet serisinin bir noktadaki değeri olarak görülebilir Bu gösterimde, ondalık gösterimdeki virgülden sonraki her rakam yukarıda bahsedilen katsayılar olmaktadır Kuvvet serisinin merkezi 0 ve x 'in değeri de 1/10 alınır Sayılar teorisinde, p-sel sayılar kavramı da aynı zamanda kuvvet serileriyle yakından alakalıdır



Üstel fonksiyon (mavi renkli) ve bu fonksiyonun Maclaurin serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızı renkli)

Örnekler

Her polinom belli bir terimden sonraki bütün katsayıları 0 olmak üzeri bir kuvvet serisi şeklinde yazılabilir Örneğin, f(x) = x2 + 2x + 3 polinomu c = 0 merkezi etrafında

şeklinde yazılabilir veya c = 1 merkezi etrafında

şeklinde yazılabilir Aslında, her c merkezi etrafında yazılabilir Kuvvet serileri her ne kadar polinom olmasalar da bir diğer bakış açısıyla aslında "sonsuz dereceli polinomlar" gibi görülebilir

| x | < 1 için geçerli olan aşağıdaki geometrik seri formülü önemli kuvvet seri örneklerinden biridir

Bir diğer önemli örnek ise tüm gerçel xler için geçerli olan üstel fonksiyon ve sinüs fonksiyonudur Sırasıyla bu fonksiyonların kuvvet serisi açılımları ise şöyledir:

Bu kuvvet serileri aynı zamanda birer Taylor serisi örneğidir

Kuvvet serilerinde, örneğinde olduğu gibi negatif kuvvetlere izin verilmez Bu tür negatif kuvvete sahip seriler Laurent serisi örneğidir ve kuvvet serisi sayılmazlar Benzer bir şekilde, x1 / 2 örneğindeki gibi, kuvvetin kesirli sayı olmasına da izin verilmez (Puiseux serisine bakınız)

an katsayıları x 'e bağımlı olmamalıdır Mesela,

bir kuvvet serisi değildir