Kuvvet Serisi

Birden çok değişkenli kuvvet serileri
Bir değişkenli kuvvet serilerinin daha fazla değişkeni içeren kuvvet serilerine genelleştirilmeleri çok değişkenli hesap için gereklidir Çok değişkenli bir kuvvet serisi aşağıdaki şekilde olan bir seridir

Burada, j = (j1, , jn) bir doğal sayılar vektörüdür, a(j1,,jn) katsayıları ise genellikle gerçel veya karmaşık sayıdır Yine, c = (c1, , cn) merkezi ve x = (x1, , xn) değişkeni ise gerçel ve karmaşık vektör olarak alınırlar

Çoklu indeks gösterimi kullanıldığında ise aynı seriyi

şeklinde yazabiliriz

Yakınsaklık yarıçapı
Bir kuvvet serisi belli x değerleri için yakınsak ve yine belli x değerleri için ıraksak olabilir Bütün kuvvet serileri x = c noktasında yakınsaktır ve serinin değeri bu noktada ilk katsayısına eşittir Bütün kuvvet serileri için yakınsaklık yarıçapı adı verilen bir r sayısı vardır ve bu sayı 0 ≤ r ≤ ∞ koşulunu sağlamaktadır Yakınsaklık yarıçapının tanımı ise şu şekilde yapılmaktadır: Tanımdaki gibi bir kuvvet serisini alalım Eğer bu seri bir r sayısı için |x − c| < r koşuluna uyan tüm x değerleri için yakınsaksa ve |x − c| > r koşuluna uyan tüm x değerleri için ıraksaksa, o zaman r 'ye bu serinin yakınsaklık yarıçapı adı verilir Burada dikkat edilmesi gereken, yakınsaklık yarıçapının tanımında verilen her iki koşulun, yani yakınsaklık ve ıraksaklık koşullarının, eşitlik durumunu içermemesidir Kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı olan r sayısı şu şekillerde de bulunabilir:

veya, dengi bir şekilde,

Son verilen formül, Cauchy–Hadamard teoremi olarak da anılmaktadır (Gösterimin daha ayrıntılı bir açıklaması için limsup ve liminf maddelerine bakınız) yakınsaklık yarıçapını hesaplamanın hızlı bir yolu, eğer limit varsa

formülünü uygulamaktır Seriyi yakınsak yapan x leri içeren kümenin öziçine yakınsaklık bölgesi adı verilir ve bu bölgelere x lerin hangi uzaydan değer aldığına bağlı olarak yakınsaklık aralığı, yakınsaklık dairesi, yakınsaklık yuvarı gibi değişik adlar da verilmektedir

Kuvvet serisi |x - c| < r değerlerini sağlayan x ler için mutlak yakınsaktır {x : |x − c| < r} kümesinin her tıkız altkümesi içinse düzgün yakınsaktır Başka bir deyişle, seri yakınsaklık dairesinin öziçinde mutlak ve tıkız bir şekilde yakınsaktır

|x - c| = r eşitliğini sağlayan x değerleri için serinin yakınsak veya ıraksak olup olmadığını belirten genel bir ifade sözkonusu değildir Ancak; x değişkeninin gerçel olduğu durumlarda Abel teoremi işe yarayabilmektedir Abel teoremi ise şu şekilde ifade edilebilir: Eğer seri x noktasında yakınsak ise, o zaman seri x noktasında sürekli olmalıdır Değişken karmaşık değişken ise, sürekliliğin c 'den başlayan ve x te biten doğru boyunca olduğunu iddia edebiliriz

Çok değişkenli kuvvet serilerinin kuramı ve geliştirilmesi elde edilen yakısanlık bölgelerinin bir değişkenli kuvvet serilerininkine kıyasla çok farklı olmasından dolayı daha zordur Örneğin, serisi {(x1,x2): | x1x2 | < 1} kümesi içinde, yani iki hiperbolün arasında mutlak yakınsaktır