Kuvvet Serisi

Türev ve İntegral

Eğer bir fonksiyon kuvvet serisi şeklinde verilirse, bu fonksiyonun yakınsaklık bölgesi içinde terim bazında türevlenebilirdir

olsun,

olduğundan, h(x) (en azından) mutlak yakınsaktır Ayrıca , f(x)'e eşit olduğundan, aşağıdaki integral eşitliği elde edilir:

Ortaya çıkan bu her iki seri de ilk seriyle aynı yakınsaklık bölgesine sahiptirler

Analitik fonksiyonlar

R veya C 'nin açık bir U altkümesinde tanımlı bir f fonksiyonu, eğer yerel anlamda bir kuvvet serisi tarafından ifade edilebiliyorsa f 'ye analitik fonksiyon adı verilir Yani, her a ∈ U için, a 'nın açık bir V( ⊆ U) komşuluğu vardır öyle ki a merkezli bir kuvvet serisi vardır ve her x ∈ V için f(x) 'e yakınsar

Pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip her kuvvet serisi yakınsaklık bölgesinin öziçindeki her noktada analitiktir Bütün holomorf fonksiyonlar karmaşık-analitiktir Analitik fonksiyonların toplamları,farkları ve çarpımları analitiktir Payda sıfır olmadığı zaman, analitik fonksiyonların bölümleri de analitiktir

Eğer bir fonksiyon analitikse, o zaman sonsuz kere türevlenbilir Ancak, gerçel durumda bunun tersi geçerli değildir Yani bir fonksiyonun sonsuz kere türevlenebiilir olması analitik olduğunu göstermez Analitik bir fonksiyon için, an katsayıları şu şlekilde hesaplanabilir:

Burada, f(n)(c) f 'nin c noktasındaki n 'inci türevini göstermektedir ve f(0)(c) = f(c) dir Yani, her analitik fonksiyon yerel anlamda fonksiyonun kendi Taylor serisi tarafından temsil edilir

Analitik fonksiyonun heryerel ifadesi ise tamamen fonksiyonun yerel ifadesi tarafından şu şekilde belirlenir: f ve g bağlantılı bir U kümesi üzerinde tanımlı iki analitik fonksiyon ise ve her n ≥ 0 için f (n)(c) = g (n)(c) eşitliğini sağlayan bir c∈U varsa, o zaman tüm x ∈ U için f(x) = g(x) eşitliği vardır

Kuvvet serisinin mertebesi

α, bir f(x1, x2, …, xn) kuvvet serisi için çoklu indeks olsun O zaman f kuvvet serisinin derecesini aα ≠ 0 koşulunun sağlayan en küçük |α| değeri veya f ≡ 0 ise 0 olarak tanımlarız Tek değişkenli kuvvet serisinde durum o zaman f 'nin derecesi sıfır katsayıya sahip olmayan x kuvvetlerinin en küçüğüdür Aynı tanım Laurent serilerine de genişletilebilir