Üs Kavramı Çeşitleri - Üslü İfadelerde Dört İşlem

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-29-2012

üs kavramı - üs kavramı çeşitleri - üslü ifadelerde dört işlem - üslü denklemler - üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri

TANIM: : a bir reel gerçel sayı ve nÎZ+ olsun

a

a=an olacak şekilde, n tane a'nın çarpımı olan an e üslü ifadeler denir

Örnek/ a) 3

3

3=34 b) c)
UYARI :8 a bir reel sayı ve nÎZ+ olmak üzere a+a+a+

+a = n

a olduğu için an ile n

a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır

Yani an ¹ n

a dır

Örnek / 2+2+2+2+2 = 5

2 olup aynı şekilde 2

2

2 = 25 olduğuna dikkat edilmelidir

Not : 1-) a¹0 olmak şartıyla a0 = 1 dir

2-) 00 = ifadesi tanımsızdır

3-) 1n = 1 dir (nÎIR)

Örnek/ a) 80 =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir

) d) 115 =1 e) 1-15 = 1 f)

Üssün Üssü

Tanım8 Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir

Kural

Örnek/ a) ( 52)3 = 52

3 =56 b) c)

Not / 1- şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır

Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa am nin üssümü olduğu belli değildir

2- dir

Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir

Örnek / olduğunu gösterin

a) = 32

3 =36 = 729
b) = 32

2

2 = 38 =6561

Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür

Negatif Üs Kavramı

Tanım 8 a bir reel sayı olmak üzere dir

Benzer şekilde a¹0 ve b¹0 olmak üzere
Örnek / 5-1 + 5-2 = ?=
Örnek /

Bir Reel Sayının Üssü

Tanm8 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir

Kural a > 0 Þ an > 0 dır

Örnek / a) 42 = 16 > 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 > 0
Tanım : 1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir

Kural a < 0 ve n bir çift sayı ise an > 0

Tanım : 2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri Negatiftir

Kural a < 0 ve n bir tek sayı ise an < 0
Örnek / 1- (-4)2 = 16 > 0
Örnek / 2- (-4)3 = -64 < 0

Not 8 a > 0 ve n bir çift sayı ise (-a)n ¹ -an eşitsizliği doğrudur

Örnek / 1- (-2)4 ¹ -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve ?24 = -2

2

2= -16
Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250)
Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0
Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

Üslü İfadelerde Dört İşlem

1- Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tanım : Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir

Kural :4 a

Xn b

Xn = (a b)

Xn

Örnek / 1- 5

103 + 2

103 = (5+2)

103
Örnek / 1- 5

103 - 2

103 = (5-2)

103

Not8 m ¹ n ise am an işlemi bu haliyle yapılamaz

Örnek / 105 + 104 = işleminde 5 4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır

1

105 = 10

104
Burdan 10

104 + 1

104 = (10+1)

104
Örnek / 55 + 54 = 5

54 + 54 = (5+1)

54

2- Çarpma ve Bölme İşlemi

Tanım: Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir

Kural 8/ 1- (a

Xm)

(b

Xn) = (a

b)

Xm+n
Kural 8 2- (a

Xm) ¸ (b

Xn) = (a¸b)

Xm-n veya
Örnek / (2

52 )

(3

54) = 2

3

52+4 =6

56
Örnek / (8

36) ¸ (4

32) =
Örnek /
Örnek / 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım

15a = 3a-2 = (3

5)a = şeklinde yazılırsa
15a = 3a-2 = (3

5)a =
= 3a

5a =
= 32

3a

5 a = 3a
= 9

5a =
= 9

5a = 1
= 5a=

Üslü Denklemler

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL:8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir

a ¹ 0, a ¹ -1, a ¹ 1 olmak üzere am = an Þ m=n dir
ÖRNEK/ 1- 2x = 25 Þ x=5 tir

2- 3x = 81 Þ 3x= 34 Þ x=4 tür

3- 2x+8 = 8 olduğuna göre, x=?
2x+8 = 2x

28 olup
2x

28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup
2x

28 = 23
2x = 23¸ 28
2x = 23-8
2x = 2-5 olup burdan x = -5 bulunur

ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım

ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) = (53)x-3
5x+1-2+x= 53(x-3)
52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır

)
2x-1 = 3x-9
2x ?3x = -9+1
-x = -8
x = 8

2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL 8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir

n tek sayı ve an = bn Þ a=b dir

n çift sıyı ve an = bn Þ a=b veya a = -b dir

ÖRNEK/ 1- x3=53Þ x=5 tir

2- (x+7)3=(3x-11)3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım

Çözüm: 3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır

Burdan,
(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalım
x+7 = 3x-11
7+11= 3x-x
18 = 2x
x =
x = 9

ÖRNEK / (2X+3)4= (X-2)4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım

ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için
(2x+3)4= (X-2)4 Þ
2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)
2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2
x=5 Veya 2x+x= 2-3
3x = -1
x=

KURAL 8 xn = 1 şeklinde olan denklemler

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır

Xn = 1 Þ

ÖRNEK / 1- 18 = 1 dir

Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir

2- 50 = 1 dir

Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir

3- (-1)6 = 1 dir

Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir

4- 53x-15 = 1 ise x=?

Çözüm: 53x-15 = 1 ise
3x-15 = 0 olmalıdır,burdan
3x = 15
x = 15¸3
x =

ÖRNEK / (5x+3)7 = 1 ise x değerini hesaplayın

ÇÖZÜM: (5x+3)7 = 17 (17=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır

(5x+3) = 1
5x+3 = 1
5x = 1-3
5x = -2
x =
ÖRNEK / (x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım

ÇÖZÜM / 1

DURUM

: x+3=1Þx=1-3
x=-2------(ª)
2

DURUM

: x-2=0--

--(ª)
x=2-------(ª) Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır

3

DURUM

: X+3= -1
x=-4------(ª) Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır

O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir

ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım

ÇÖZÜM / = 6

10x

=3

5x

=
=2

2x
=21

2x
=21+x

alıntı

10-29-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Üs Kavramı Çeşitleri - Üslü İfadelerde Dört İşlem üs kavramı - üs kavramı çeşitleri - üslü ifadelerde dört işlem - üslü denklemler - üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri TANIM: : a bir reel gerçel sayı ve nÎZ+ olsun aaaa=an olacak şekilde, n tane a'nın çarpımı olan an e üslü ifadeler denir Örnek/ a) 3333=34 b) c) UYARI :8 a bir reel sayı ve nÎZ+ olmak üzere a+a+a++a = na olduğu için an ile na ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır Yani an ¹ na dır Örnek / 2+2+2+2+2 = 52 olup aynı şekilde 22222 = 25 olduğuna dikkat edilmelidir Not : 1-) a¹0 olmak şartıyla a0 = 1 dir 2-) 00 = ifadesi tanımsızdır 3-) 1n = 1 dir (nÎIR) Örnek/ a) 80 =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir) d) 115 =1 e) 1-15 = 1 f) Üssün Üssü Tanım8 Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir Kural Örnek/ a) ( 52)3 = 523 =56 b) c) Not / 1- şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa am nin üssümü olduğu belli değildir 2- dir Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir Örnek / olduğunu gösterin a) = 323 =36 = 729 b) = 3222 = 38 =6561 Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür Negatif Üs Kavramı Tanım 8 a bir reel sayı olmak üzere dir Benzer şekilde a¹0 ve b¹0 olmak üzere Örnek / 5-1 + 5-2 = ?= Örnek / Bir Reel Sayının Üssü Tanm8 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir Kural a > 0 Þ an > 0 dır Örnek / a) 42 = 16 > 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 > 0 Tanım : 1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir Kural a < 0 ve n bir çift sayı ise an > 0 Tanım : 2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri NegatiftirKural a < 0 ve n bir tek sayı ise an < 0 Örnek / 1- (-4)2 = 16 > 0 Örnek / 2- (-4)3 = -64 < 0 Not 8 a > 0 ve n bir çift sayı ise (-a)n ¹ -an eşitsizliği doğrudur Örnek / 1- (-2)4 ¹ -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve ?24 = -2222= -16 Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250) Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0 Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36) Üslü İfadelerde Dört İşlem 1- Toplama ve Çıkarma İşlemi Tanım : Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir Kural :4 aXn bXn = (a b)Xn Örnek / 1- 5103 + 2103 = (5+2)103 Örnek / 1- 5103 - 2103 = (5-2)103 Not8 m ¹ n ise am an işlemi bu haliyle yapılamaz Örnek / 105 + 104 = işleminde 5 4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır 1105 = 10104 Burdan 10104 + 1104 = (10+1) 104 Örnek / 55 + 54 = 554 + 54 = (5+1) 54 2- Çarpma ve Bölme İşlemi Tanım: Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir Kural 8/ 1- (aXm) (bXn) = (ab)Xm+n Kural 8 2- (aXm) ¸ (bXn) = (a¸b)Xm-n veya Örnek / (252 ) (354) = 2352+4 =656 Örnek / (836) ¸ (432) = Örnek / Örnek / 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım 15a = 3a-2 = (35)a = şeklinde yazılırsa 15a = 3a-2 = (35)a = = 3a5a = = 32 3a5 a = 3a = 95a = = 95a = 1 = 5a= Üslü Denklemler 1- Tabanları Eşit Olan Denklemler: KURAL:8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir a ¹ 0, a ¹ -1, a ¹ 1 olmak üzere am = an Þ m=n dir ÖRNEK/ 1- 2x = 25 Þ x=5 tir 2- 3x = 81 Þ 3x= 34 Þ x=4 tür 3- 2x+8 = 8 olduğuna göre, x=? 2x+8 = 2x 28 olup 2x 28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup 2x 28 = 23 2x = 23¸ 28 2x = 23-8 2x = 2-5 olup burdan x = -5 bulunur ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) = (53)x-3 5x+1-2+x= 53(x-3) 52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır) 2x-1 = 3x-9 2x ?3x = -9+1 -x = -8 x = 8 2- Üsleri eşit olan denklemler: KURAL 8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir n tek sayı ve an = bn Þ a=b dir n çift sıyı ve an = bn Þ a=b veya a = -b dir ÖRNEK/ 1- x3=53Þ x=5 tir 2- (x+7)3=(3x-11)3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım Çözüm: 3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır Burdan, (x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalım x+7 = 3x-11 7+11= 3x-x 18 = 2x x = x = 9 ÖRNEK / (2X+3)4= (X-2)4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için (2x+3)4= (X-2)4 Þ 2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2) 2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2 x=5 Veya 2x+x= 2-3 3x = -1 x= KURAL 8 xn = 1 şeklinde olan denklemler Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır Xn = 1 Þ ÖRNEK / 1- 18 = 1 dir Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir 2- 50 = 1 dir Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir 3- (-1)6 = 1 dir Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir 4- 53x-15 = 1 ise x=? Çözüm: 53x-15 = 1 ise 3x-15 = 0 olmalıdır,burdan 3x = 15 x = 15¸3 x = ÖRNEK / (5x+3)7 = 1 ise x değerini hesaplayın ÇÖZÜM: (5x+3)7 = 17 (17=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır (5x+3) = 1 5x+3 = 1 5x = 1-3 5x = -2 x = ÖRNEK / (x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım ÇÖZÜM / 1 DURUM: x+3=1Þx=1-3 x=-2------(ª) 2 DURUM: x-2=0----(ª) x=2-------(ª) Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır 3 DURUM: X+3= -1 x=-4------(ª) Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım ÇÖZÜM / = 610x =35x = =22x =21 2x =21+x alıntı