Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayılarla İşlemler

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-21-2012

Rasyonel sayılar ve rasyonel sayılarla işlemler

RASYONEL SAYILAR

a ve b birer tamsayı b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise a/b şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir

Yani denk kesirlerin belirttiği sayıdır

Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir

Buradan Rasyonel Sayılar Kümesini

Q = {x: x=a/b; a b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }

şeklinde gösterebiliriz

Örneğin

1/5 2/3 4 8/5 -1/2 -6/5 0

sayıları birer rasyonel sayıdır

Bazı Özellikler:

Her doğal sayı bir tamsayıdır

Her tamsayı bir rasyonel sayıdır

Çünkü tamsayıların paydası vardır ve 1' dir

a/b = c/b ise a=c dir

a/b=c/d ise a

d=b

c dir

a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise a=c ve b=d dir

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

1

TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için paydaların eşit olması gerekir

Şayet paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir

Ortak payda payda olarak alınırken toplama işleminde payların toplamı paya çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır

Bu kuralı aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:

Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b dir yani ters işaretlisidir

Örnekler:

2

ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının çarpımı payların çarpımı paya paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır

Yani

şeklinde yapılmalıdır

İşaret kuralı tamsayılardaki gibidir

a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a dır

a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi

(a/b)-1 = b/a

şeklinde gösterilir

Örnekler:

3

BÖLME İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının bölümü ilk sayı aynen yazılır ikinci sayı ters çevrilip çarpılır

Yani ilk sayı ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır

Bölme işleminin genel kuralı

şeklindedir

Burada b c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir

Çünkü sıfıra bölme tanımsızdır

Diğer taraftan sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır

İşaret kuralı çarpma işlemindeki gibidir

Örnekler:

Karışık Örnekler:

Örnek 1:

olduğuna göre

toplamının a cinsinden değeri nedir?

Çözüm:

Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak

olur

Yani a+b=12 bulunur

Buradan b=12-a çıkar

Örnek 2:

sayısı

sayısının kaç katıdır?

Çözüm:

Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için bölme işlemi yapılmalıdır

Bu takdirde

Örnek 3:

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden

yazabiliriz

Buradan a/10 = 10-5 a/10 = 5 a= 10

5 a=50 bulunur

Örnek 4:

Çözüm:

yazılabilir

Buradan

4x + 5 = x2

x2-4x -5 = 0

Çarpımları -5 toplamları -4 olan iki sayı -5 ile +1 olduğundan

(x-5)

(x+1) = 0

yazabiliriz

Böylece

x=5 ile x=-1 bulunur

Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından x = 5 olmalıdır

Not: 5 4' ün 1 fazlası olduğundan sonuç 5 çıkmıştır

4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı sonuç 9 olacaktı

4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak şayet b a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise bu işlemin sonucu b olur

Örnek 5:

işleminin sonucu yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Çözüm:

Verilen işlem sonsuzlu işlem olduğundan 3' ün paydasına x dersek işlemin tamamı da x olur

Dolayısıyla

yazabiliriz

Buradan 4x -3 = x2 x2 -4x +3 = 0 olur

Bu denklem de (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden x=3 ile x=1 bulunur

Dolayısıyla doğru seçenek (b) şıkkıdır

Not: işleminde (a/2)2 = b ise bu işlemin sonucu a/2 dir

Örnek 6:

Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür

RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI :

Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür)

Örnek:

7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan payı büyük olan daha büyük payı küçük olan daha küçüktür

Bu nedenle bu rasyonel sayılar

şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir

2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür)

Örnek:

12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız

Çözüm:

Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan paydası küçük olan daha büyük olduğundan

şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz

Diğer taraftan

şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz

3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise

Şayet rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha küçüktür

Şayet rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha büyüktür

Örnek:

12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir

Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir

Dolayısıyla payı küçük olan daha küçüktür

Bu nedenle 12/17 rasyonel sayısı 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür

Yani

şeklinde yazabiliriz

Örnek:

107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir

Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir

Dolayısıyla payı küçük olan daha büyüktür

Bu nedenle 359/357 rasyonel sayısı 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür

Yani

dir

4) Rasyonel sayılar ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir

Örnek:

10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız

Çözüm:

a=10/11 olsun

O zaman 1/a=11/10=11 olur

b=100/111 olsun

O zaman 1/b=111/100=111 olur

Dolayısıyla

dir

Buradan b < a bulunur

Ayrıca a > b şeklinde de yazabiliriz

5) Rasyonel sayılar tamsayılardan daha yoğundur

Bu nedenle iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır

Buna rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir

Bundan dolayı rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez

İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir:

a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı

şeklinde bulunabilir

Örnek:

1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz

Çözüm:

bulunur

Dolayısıyla

yazabiliriz

6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir

Örnek:

Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?

a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30

Çözüm:

1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur

Dolayısıyla 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar

6/30 7/30 8/30 9/30 10/30 11/30

dir

Buna göre 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz

Doğru seçenek (e) şıkkıdır

Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır

Sonra da ters sıralama yapılarak negatif değerlerin sıralaması elde edilir

Çünkü sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa sıralama sembolü yön değiştirir

Örnek:

a = -1/3 ve b = -2/7 ise a ile b' yi sıralayınız

Çözüm:

a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan işaretsiz olarak ele almalıyız

Yani 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım

Bu iki kesrin paylarını eşitleyelim

Bu takdirde 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyük olduğundan 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür

Böylece

olur

Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp eşitsizliğin yönünü değiştirirsek

buluruz

Dolayısıyla a < b dir

Örnek:

x < 0 olmak üzere a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

Şayet x > 0 olsaydı

olacaktı

x < 0 olduğu için

olur

Örnek:

ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3

e) 22/3 < x < 12

10-21-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayılarla İşlemler Rasyonel sayılar ve rasyonel sayılarla işlemler RASYONEL SAYILAR a ve b birer tamsayı b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise a/b şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir Yani denk kesirlerin belirttiği sayıdır Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir Buradan Rasyonel Sayılar Kümesini Q = {x: x=a/b; a b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal } şeklinde gösterebiliriz Örneğin 1/5 2/3 4 8/5 -1/2 -6/5 0 sayıları birer rasyonel sayıdır Bazı Özellikler: Her doğal sayı bir tamsayıdır Her tamsayı bir rasyonel sayıdır Çünkü tamsayıların paydası vardır ve 1' dir a/b = c/b ise a=c dir a/b=c/d ise ad=bc dir a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise a=c ve b=d dir RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER 1 TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ: Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için paydaların eşit olması gerekir Şayet paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir Ortak payda payda olarak alınırken toplama işleminde payların toplamı paya çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır Bu kuralı aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz: Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b dir yani ters işaretlisidir Örnekler: 2 ÇARPMA İŞLEMİ Rasyonel iki sayının çarpımı payların çarpımı paya paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır Yani şeklinde yapılmalıdır İşaret kuralı tamsayılardaki gibidir a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a dır a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi (a/b)-1 = b/a şeklinde gösterilir Örnekler: 3 BÖLME İŞLEMİ Rasyonel iki sayının bölümü ilk sayı aynen yazılır ikinci sayı ters çevrilip çarpılır Yani ilk sayı ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır Bölme işleminin genel kuralı şeklindedir Burada b c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir Çünkü sıfıra bölme tanımsızdır Diğer taraftan sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır İşaret kuralı çarpma işlemindeki gibidir Örnekler: Karışık Örnekler: Örnek 1: olduğuna göre toplamının a cinsinden değeri nedir? Çözüm: Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak olur Yani a+b=12 bulunur Buradan b=12-a çıkar Örnek 2: sayısı sayısının kaç katıdır? Çözüm: Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için bölme işlemi yapılmalıdır Bu takdirde Örnek 3: olduğuna göre a kaçtır? Çözüm: Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden yazabiliriz Buradan a/10 = 10-5 a/10 = 5 a= 105 a=50 bulunur Örnek 4: Çözüm: yazılabilir Buradan 4x + 5 = x2 x2-4x -5 = 0 Çarpımları -5 toplamları -4 olan iki sayı -5 ile +1 olduğundan (x-5)(x+1) = 0 yazabiliriz Böylece x=5 ile x=-1 bulunur Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından x = 5 olmalıdır Not: 5 4' ün 1 fazlası olduğundan sonuç 5 çıkmıştır 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı sonuç 9 olacaktı 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak şayet b a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise bu işlemin sonucu b olur Örnek 5: işleminin sonucu yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Çözüm: Verilen işlem sonsuzlu işlem olduğundan 3' ün paydasına x dersek işlemin tamamı da x olur Dolayısıyla yazabiliriz Buradan 4x -3 = x2 x2 -4x +3 = 0 olur Bu denklem de (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden x=3 ile x=1 bulunur Dolayısıyla doğru seçenek (b) şıkkıdır Not: işleminde (a/2)2 = b ise bu işlemin sonucu a/2 dir Örnek 6: Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI : Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması: 1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür) Örnek: 7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız Çözüm: Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan payı büyük olan daha büyük payı küçük olan daha küçüktür Bu nedenle bu rasyonel sayılar şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir 2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür) Örnek: 12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız Çözüm: Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan paydası küçük olan daha büyük olduğundan şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz Diğer taraftan şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz 3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise Şayet rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha küçüktür Şayet rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha büyüktür Örnek: 12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız Çözüm: 12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir Dolayısıyla payı küçük olan daha küçüktür Bu nedenle 12/17 rasyonel sayısı 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür Yani şeklinde yazabiliriz Örnek: 107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız Çözüm: 107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir Dolayısıyla payı küçük olan daha büyüktür Bu nedenle 359/357 rasyonel sayısı 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür Yani dir 4) Rasyonel sayılar ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir Örnek: 10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız Çözüm: a=10/11 olsun O zaman 1/a=11/10=11 olur b=100/111 olsun O zaman 1/b=111/100=111 olur Dolayısıyla dir Buradan b < a bulunur Ayrıca a > b şeklinde de yazabiliriz 5) Rasyonel sayılar tamsayılardan daha yoğundur Bu nedenle iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır Buna rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir Bundan dolayı rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir: a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı şeklinde bulunabilir Örnek: 1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz Çözüm: bulunur Dolayısıyla yazabiliriz 6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir Örnek: Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz? a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30 Çözüm: 1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur Dolayısıyla 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar 6/30 7/30 8/30 9/30 10/30 11/30 dir Buna göre 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz Doğru seçenek (e) şıkkıdır Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması: Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır Sonra da ters sıralama yapılarak negatif değerlerin sıralaması elde edilir Çünkü sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa sıralama sembolü yön değiştirir Örnek: a = -1/3 ve b = -2/7 ise a ile b' yi sıralayınız Çözüm: a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan işaretsiz olarak ele almalıyız Yani 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım Bu iki kesrin paylarını eşitleyelim Bu takdirde 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyük olduğundan 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür Böylece olur Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp eşitsizliğin yönünü değiştirirsek buluruz Dolayısıyla a < b dir Örnek: x < 0 olmak üzere a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız Çözüm: Şayet x > 0 olsaydı olacaktı x < 0 olduğu için olur Örnek: ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3 e) 22/3 < x < 12