Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayılarla İşlemler

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-21-2012

Çözüm:
Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak

olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından

22/3 < x < 26
bulunur

Doğru seçenek (c) şıkkıdır

Örnek:
a=10/11 b=100/111 c=1000/1111
olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999 iptal sın

)
a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a

Çözüm:
a=10/11=1/11
b=100/111= 1/111
c=1000/1111=1/1111
payları eşit olan kesirlerin paydası en büyük olan daha küçük olduğundan
a > b > c olur

Doğru seçenek (a) şıkkıdır

Örnek:
a > 0 b > 0 c > 0 ve

olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a

Çözüm:
a b ve c pozitif sayılar olduğundan

yazabiliriz

Buradan a=5 b=15 ve c=10 olur

Böylece a < c < b bulunur

Doğru seçenek (a) dır

Örnek:
a=7/8 b=10/11 c=13/5
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b

Çözüm:
a ile b kesri basit bir kesirken c bileşik kesirdir

Bu nedenle c bileşik kesri en büyüktür

O halde a ile b yi incelemeliyiz

Buradan a < b bulunur

Böylece a < b < c elde edilir

Doğru seçenek (b) dir

Örnek:

olduğuna göre a b c sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir?
a) 6/45 11/45 12/45
b) 4/27 6/27 7/27
c) 5/36 6/36 7/36
d) 2/18 5/18 6/18
e) 7/54 9/54 15/54

Çözüm:
Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir

Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir

a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir

O halde 5 ile genişletirsek
5/45 < a < b < c < 10/45
olur

Burada b ve c yer almaz

Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz

b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir

O halde 3 ile genişletirsek
3/27 < a < b < c < 6/27
olur

Burada da b ile c bu aralıkta yer almaz

Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz

c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir

O halde 4 ile genişletirsek
4/36 < a < b < c < 8/36
olur

Burada a b ve c bu aralıkta yer alır

Dolayısıyla doğru seçenek bu seçenektir

d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz

RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

KESİR

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir

Burada a' ya kesrin payı b' ye de kesrin paydası denir

Bir başka deyişle kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır

Kesrin paydası bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir

Örneğin 2/5 kesri bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder

DENK KESİRLER

a b c d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere a/b ile c/d birer kesir ve a

d = b

c ise a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir

Örneğin 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
3/5 6/10 9/15 12/20 15/25

3m/5m

Burada m sıfırdan farklı bir tamsayıdır

Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez

Bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa buna kesrin genişletilmesi denir

Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:

Şayet bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile bölünürse buna da kesrin sadeleştirilmesi denir

Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:

BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere bayağı kesir denir

Bayağı kesirler üçe ayrılır:

1

Basit Kesirler:
Payı paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir

Örneğin
2/3 3/5 4/7 1/2 9/10 1/3 2/7 10/15

şeklindeki bayağı kesirlerin tümü basit kesirdir

Bununla birlikte payı 1 olan basit kesirlere birim kesirler denir

Burada 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için birim kesirlerdir

2

Bileşik Kesirler:
Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir

Örneğin
3/2 5/3 7/4 2 10/9 3 7/2 15/10 12/12

şeklindeki bayağı kesirlerin tümü bileşik kesirdir

Çünkü bu kesirlerin tümünün payı paydasından büyüktür

3

Tamsayılı Kesirler:
a b c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere

şeklinde gösterilen kesirlerdir

Yani tamsayılı kesirler sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir

Örneğin

kesri tamsayılı bir kesirdir

Buradan bir tamsayılı kesrin bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz

Aynı şekilde bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz

Bileşik bir kesri tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı paydasına bölünür bölüm tam kısmını kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır

Örneğin 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım

11 5' e bölünürse bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan

şeklinde yazabiliriz

Not: Kesirler eksili (negatif) de olabilirler

Örnek:

kesrinin basit bir kesir olabilmesi için x kaç tane değer alır?

Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için payının paydasından küçük olması gerekir

Dolayısıyla 2x - 3 < 12 olması gerekir

x' i yalnız bırakabilmek için 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak
2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur

x doğal sayı olduğuna göre 15/2' den küçük doğal sayılar
x = {0 1 2 3 4 5 6 7}
dir

Bu nedenle x bu 8 tane değeri alırsa kesir basit kesir olur

1990 – 2000 YILLARI ARASINDA ÖSS / ÖYS’DE RASYONEL SAYILARLA İLGİLİ SORULAN SORULAR :

1) 00034 Kesri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
017

A)
1
B) 1 C) 1 D) 1 E) 1
100 50 20 10 2

00034 = 34 = 2 = 1
0 begin_of_the_skype_highlighting 17 1700 100 50end_of_the_skype_highlighting

2) X pozitif bir ondalık sayıdır

x + 1 Bir tamsayı olduğuna göre x’in virgülden sonraki kısmı nedir?
40

A)
…975 B) …075 C) …125 D) …250 E) 025

x + 1 = 1 olsun
40

x = 1 - 1 = 1 – 0025 = 0975‘ tir

40

3) 3 - 1 < a < b < c 2 Olduğuna göre abc sayıları sırasıyla aşağıdakilerin hangisindeki sayılar olabilir?
9 9

A)
6 11 12 B) 4 6 12
C) 4 6 12
45 45 45 27 27 45 27 27 45

D)
2 5 6 E) 7 9 15
18 18 18 54 54 54

1 < a < b < c 2
9 9

4 < b < c 8 ise a= 5 b= 6 c= 7 dır

36 36 36 36 36

Diğer şıklarda verilen sayıların 1 2 aralarında olmadığı benzer şekilde görülür

9 9

4) 2345 rakamlarından ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay; öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı sayı da payda olmak üzere elde edilebilecek kesirlerden en büyüğünün yaklaşık değeri nedir?

A) 234 B) 214 C) 196 D) 172 E) 148

Şartlara uygun en büyük sayı; payı en büyük ve paydası en küçük olan sayıdır

Buna gör sayı 54 = 234 ‘ tür

23

5) 5 - 01 + 004 + 2 İşleminin sonucu nedit?
001 002 02

A) 4 B) 7 C) 15 D) 22 E) 41

01 + 004 = 2 = 10 + 4 + 20 = 10 + 2 + 10 = 22’dir

001 002 02 1 2 2 17 1700 100 50

10-21-2012	#2
Prof. Dr. Sinsi	Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayılarla İşlemler Çözüm: Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından 22/3 < x < 26 bulunur Doğru seçenek (c) şıkkıdır Örnek: a=10/11 b=100/111 c=1000/1111 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999 iptal sın) a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a Çözüm: a=10/11=1/11 b=100/111= 1/111 c=1000/1111=1/1111 payları eşit olan kesirlerin paydası en büyük olan daha küçük olduğundan a > b > c olur Doğru seçenek (a) şıkkıdır Örnek: a > 0 b > 0 c > 0 ve olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992) a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a Çözüm: a b ve c pozitif sayılar olduğundan yazabiliriz Buradan a=5 b=15 ve c=10 olur Böylece a < c < b bulunur Doğru seçenek (a) dır Örnek: a=7/8 b=10/11 c=13/5 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b Çözüm: a ile b kesri basit bir kesirken c bileşik kesirdir Bu nedenle c bileşik kesri en büyüktür O halde a ile b yi incelemeliyiz Buradan a < b bulunur Böylece a < b < c elde edilir Doğru seçenek (b) dir Örnek: olduğuna göre a b c sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir? a) 6/45 11/45 12/45 b) 4/27 6/27 7/27 c) 5/36 6/36 7/36 d) 2/18 5/18 6/18 e) 7/54 9/54 15/54 Çözüm: Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir O halde 5 ile genişletirsek 5/45 < a < b < c < 10/45 olur Burada b ve c yer almaz Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir O halde 3 ile genişletirsek 3/27 < a < b < c < 6/27 olur Burada da b ile c bu aralıkta yer almaz Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir O halde 4 ile genişletirsek 4/36 < a < b < c < 8/36 olur Burada a b ve c bu aralıkta yer alır Dolayısıyla doğru seçenek bu seçenektir d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER KESİR a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir Burada a' ya kesrin payı b' ye de kesrin paydası denir Bir başka deyişle kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır Kesrin paydası bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir Örneğin 2/5 kesri bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder DENK KESİRLER a b c d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere a/b ile c/d birer kesir ve ad = bc ise a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir Örneğin 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir: 3/5 6/10 9/15 12/20 15/25 3m/5m Burada m sıfırdan farklı bir tamsayıdır Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez Bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa buna kesrin genişletilmesi denir Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz: Şayet bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile bölünürse buna da kesrin sadeleştirilmesi denir Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz: BAYAĞI KESİR a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere bayağı kesir denir Bayağı kesirler üçe ayrılır: 1 Basit Kesirler: Payı paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir Örneğin 2/3 3/5 4/7 1/2 9/10 1/3 2/7 10/15 şeklindeki bayağı kesirlerin tümü basit kesirdir Bununla birlikte payı 1 olan basit kesirlere birim kesirler denir Burada 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için birim kesirlerdir 2 Bileşik Kesirler: Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir Örneğin 3/2 5/3 7/4 2 10/9 3 7/2 15/10 12/12 şeklindeki bayağı kesirlerin tümü bileşik kesirdir Çünkü bu kesirlerin tümünün payı paydasından büyüktür 3 Tamsayılı Kesirler: a b c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere şeklinde gösterilen kesirlerdir Yani tamsayılı kesirler sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir Örneğin kesri tamsayılı bir kesirdir Buradan bir tamsayılı kesrin bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz Aynı şekilde bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz Bileşik bir kesri tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı paydasına bölünür bölüm tam kısmını kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır Örneğin 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım 11 5' e bölünürse bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan şeklinde yazabiliriz Not: Kesirler eksili (negatif) de olabilirler Örnek: kesrinin basit bir kesir olabilmesi için x kaç tane değer alır? Çözüm: Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için payının paydasından küçük olması gerekir Dolayısıyla 2x - 3 < 12 olması gerekir x' i yalnız bırakabilmek için 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak 2x < 12 + 3 2x < 15 x < 15/2 bulunur x doğal sayı olduğuna göre 15/2' den küçük doğal sayılar x = {0 1 2 3 4 5 6 7} dir Bu nedenle x bu 8 tane değeri alırsa kesir basit kesir olur 1990 – 2000 YILLARI ARASINDA ÖSS / ÖYS’DE RASYONEL SAYILARLA İLGİLİ SORULAN SORULAR : 1) 00034 Kesri aşağıdakilerden hangisine eşittir? 017 A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 100 50 20 10 2 00034 = 34 = 2 = 1 0 begin_of_the_skype_highlighting 17 1700 100 50end_of_the_skype_highlighting 2) X pozitif bir ondalık sayıdır x + 1 Bir tamsayı olduğuna göre x’in virgülden sonraki kısmı nedir? 40 A) …975 B) …075 C) …125 D) …250 E) 025 x + 1 = 1 olsun 40 x = 1 - 1 = 1 – 0025 = 0975‘ tir 40 3) 3 - 1 < a < b < c 2 Olduğuna göre abc sayıları sırasıyla aşağıdakilerin hangisindeki sayılar olabilir? 9 9 A) 6 11 12 B) 4 6 12 C) 4 6 12 45 45 45 27 27 45 27 27 45 D) 2 5 6 E) 7 9 15 18 18 18 54 54 54 1 < a < b < c 2 9 9 4 < b < c 8 ise a= 5 b= 6 c= 7 dır 36 36 36 36 36 Diğer şıklarda verilen sayıların 1 2 aralarında olmadığı benzer şekilde görülür 9 9 4) 2345 rakamlarından ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay; öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı sayı da payda olmak üzere elde edilebilecek kesirlerden en büyüğünün yaklaşık değeri nedir? A) 234 B) 214 C) 196 D) 172 E) 148 Şartlara uygun en büyük sayı; payı en büyük ve paydası en küçük olan sayıdır Buna gör sayı 54 = 234 ‘ tür 23 5) 5 - 01 + 004 + 2 İşleminin sonucu nedit? 001 002 02 A) 4 B) 7 C) 15 D) 22 E) 41 01 + 004 = 2 = 10 + 4 + 20 = 10 + 2 + 10 = 22’dir 001 002 02 1 2 2 17 1700 100 50