Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayıların Eşitliği

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-21-2012

1

6

Alıştırmalar (Rasyonel Sayılar)

1) sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz

2) 1+ sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz

3) Rasyonel iki sayının toplamı da rasyoneldir

İspat ediniz

4) Rasyonel iki sayının çarpımı da rasyoneldir

İspat ediniz

5) Paydadaki sıfırdan farklı olmak üzere rasyonel iki sayının bölümü de rasyoneldir

İspat ediniz

6) Rasyonel olmayan bir sayı ile rasyonel bir sayının toplamının rasyonel olmadığını ispat ediniz

7) eşitliğinin sağlandığını gösteriniz

8) Her a ve b sayısı için f(a+b)=f(a)+f(b) özelliğine sahip bir fonksiyon f olsun

Bu takdirde her rasyonel a sayısı için f( a a)= a f(a) eşitliği sağlanır

İspat ediniz

(Yol Gösterme: Önce eşitliğin her m tamsayısı için eşitliğinin sağlandığını hatırlayalım

Herhangi bir rasyonel sayı olsun

Bu takdirde yani elde edilir

Bu son eşitliğin her iki yanını q ile çarparsak, olduğundan, olur

Buradan da elde edilir

)

9) Biribirinden farklı iki rasyonel sayı arasında mutlaka bir irrasyonel sayı vardır

(Yol gösterme: a ile b biribirinden farklı iki rasyonel sayı olsun

Bu takdirde sayısı irrasyonel bir sayıdır ve a ile b arasındadır

)

10) Biribirinden farklı iki reel sayı arasında mutlaka bir rasyonel sayı bulunduğunu ispat ediniz

(Yol Gösterme: Biribirinden farklı herhangi iki reel sayı x ile y olsun ve x<y kabul edelim

y-x=b diyelim

Arşimet aksiyomundan dolayı olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır

Buradan elde edilir

Şimdi sayılarını gözönüne alalım

Bu sayılardan en az bir tanesi x ile y arasında olmak zorundadır

Eğer böyle olmasaydı yani bu sayıların hiç biri x ile y arasında bulunmasaydı bir m tamsayısı için olurdu ki buradan bulunurdu ki bu da bir çelişkidir

O halde en az bir m tamsayısı için eşitsizliği sağlanır

olduğundan ispat elde edilmiş olur

)

11) , , olduğuna göre

olduğunu gösteriniz

12) Eğer ise her pozitif n doğal sayısı için

10-21-2012	#2
Prof. Dr. Sinsi	Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayıların Eşitliği 16 Alıştırmalar (Rasyonel Sayılar) 1) sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz 2) 1+ sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz 3) Rasyonel iki sayının toplamı da rasyoneldir İspat ediniz 4) Rasyonel iki sayının çarpımı da rasyoneldir İspat ediniz 5) Paydadaki sıfırdan farklı olmak üzere rasyonel iki sayının bölümü de rasyoneldir İspat ediniz 6) Rasyonel olmayan bir sayı ile rasyonel bir sayının toplamının rasyonel olmadığını ispat ediniz 7) eşitliğinin sağlandığını gösteriniz 8) Her a ve b sayısı için f(a+b)=f(a)+f(b) özelliğine sahip bir fonksiyon f olsun Bu takdirde her rasyonel a sayısı için f( a a)= a f(a) eşitliği sağlanır İspat ediniz (Yol Gösterme: Önce eşitliğin her m tamsayısı için eşitliğinin sağlandığını hatırlayalım Herhangi bir rasyonel sayı olsun Bu takdirde yani elde edilir Bu son eşitliğin her iki yanını q ile çarparsak, olduğundan, olur Buradan da elde edilir) 9) Biribirinden farklı iki rasyonel sayı arasında mutlaka bir irrasyonel sayı vardır (Yol gösterme: a ile b biribirinden farklı iki rasyonel sayı olsun Bu takdirde sayısı irrasyonel bir sayıdır ve a ile b arasındadır) 10) Biribirinden farklı iki reel sayı arasında mutlaka bir rasyonel sayı bulunduğunu ispat ediniz (Yol Gösterme: Biribirinden farklı herhangi iki reel sayı x ile y olsun ve x<y kabul edelim y-x=b diyelim Arşimet aksiyomundan dolayı olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır Buradan elde edilir Şimdi sayılarını gözönüne alalım Bu sayılardan en az bir tanesi x ile y arasında olmak zorundadır Eğer böyle olmasaydı yani bu sayıların hiç biri x ile y arasında bulunmasaydı bir m tamsayısı için olurdu ki buradan bulunurdu ki bu da bir çelişkidir O halde en az bir m tamsayısı için eşitsizliği sağlanır olduğundan ispat elde edilmiş olur) 11) , , olduğuna göre olduğunu gösteriniz 12) Eğer ise her pozitif n doğal sayısı için