Atış Hareketleri Yeryüzü Hareketleri

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-21-2012

Atış Hareketleri Yeryüzü Hareketleri

Yerden yüksekteki bölgelerde hareket eden cisimlerin yaptıkları hareketlere yeryüzündeki hareketler denir

Bu hareketlerde; havanın direnci önemsiz sayılırsa cisim her an yerçekimi ivmesine sahip olur

Hava direnci;

Hava ortamında hareket eden cisimler daima hava molekülleri ile temas halinde olduklarından aralarında sürtünmeden dolayı bir kuvvet oluşur

Bu kuvvete hava direnci denir ve Fh=k

A

V2 bağıntısı ile verilir

Burada;

k: Cisimle hava arasındaki direnç katsayısı

A: Cismin hareket doğrultusuna dik olan en büyük kesiti

V: Cismin hava ortamına göre hızıdır

Eğer cisim duruyor ve hava hareketli ise buradaki V hızı havanın hızıdır

UYARI: Ağırlığı çok küçük olan cisimler için havanın direnç kuvveti cismin hızı ile doğru orantılıdır

Fh a V

Yerden yüksekteki bir noktadan serbest bırakılan bir cismin hareketine serbest düşme denir

Cisim bırakıldığı andan itibaren aşağıya doğru yer çekimi, yukarıya doğru havanın direnci kuvvetlerinin etkisinde kalır

Bunların etkisinde cisim;

a = Fnet = G-Fh a = m

g-k

A

V2 ivmesi ile hızlanmaya başlar

Hız artınca Fh

m m m

artar ve cismin ivmesi azalır

İvme azalsa da cisim hızlanmaya ve havanın direnci artmaya devam eder

Fh = G eşitliğini sağlayan hıza cismin limit hızı denir

Limit hız hava ortamında hareket eden cisimlerin ulaşabilecekleri maksimum hızdır

Cisim limit hıza ulaştıktan sonra hareketinin kalan bölümünü sabit hızla sürdürür

Limit hız: Fh = G k

A

V2limit = mg Vlimit = mg bağıntısından bulunur

kA

SERBEST DÜŞME

Havanın direnci önemsiz kabul edilirse; a = Fnet = G-Fk = mg-0 a = g bulunur

m m m

Bu durumda serbest düşme hareketi a = g ivmesi ile yapılan ters yönde düzgün hızlanan hareket olur

Hareketlinin hareket denklemleri;

V = g

t

Y = 1gt2

2

V = 2gh şeklindedir

Hareketin Grafikleri: h V a = -g

0 t 0 t 0 t

-g

ÖRNEK: Yerden 320 m

Yüksekten serbest bırakılan bir cisim kaç saniye sonra yere çarpar, hızı kaç msn’dir? ( g = 10 msn2 )

ÇÖZÜM: Cisim serbest düşme hareketi yapacağından h = 1gt2, V = gt ve V = 2gh bağıntıları geçerlidir

2

h = 320 m 320 = 0,5

10

t2 ise t2 = 64 ise t = 8 s de iner

g = 10 m sn2 V = g

t = 10

8 ise V = 80 ms bulunur

DÜŞEY ATIŞ

Bir cisme düşey doğrultuda bir ilk hız verilerek yapılan atış hareketine denir

A ) Yukarıdan Aşağıya Doğru Düşey Atış

Havanın direnci ihmal edilirse;

Vo ilk hızı ile atılan bir cisim atıldığı andan itibaren yerçekimi ( G = mg ) kuvvetinin etkisi ile ( -y ) yönünde düzgün hızlanır

Hareketin denklemleri;

V = Vo + gt

h = Vo

t + 1 gt2

2

V = Vo2 + 2gh

y = - ( Vot + 1 at2 )

2

Hareketin Grafikleri: h V a

0 t 0 t 0 t

-Vo -g

B ) Aşağıdan Yukarıya Doğru Düşey Atış

Yerden düşey olarak yukarıya doğru atılan bir cisim; atıldığı andan itibaren yerçekimi kuvvetinin etkisi ile düzgün yavaşlar

Hızı bir an sıfır olduktan sonra aynı ivme ile düzgün hızlanarak atıldığı yere geri döner

Öyleyse yukarıya doğru düşey atış hareketi; yerçekimi kuvvetini etkisinde düzgün yavaşlayan harekettir

Hareketin denklemleri;

V = Vo – gt Hız Denklemi

h = Vo

t – 1 gt2 Yol Denklemi

2

V = Vo – 2gh Zamandan Bağımsız Denklem

Hareket yavaşlayan bir hareket olduğundan belli bir süre yükselecektir

Yükselme süresine çıkış süresi ve bu süre içinde aldığı yola da maksimum yükseklik denir

Çıkış süresi ve maksimum yükseklik;

tçık = Vo , hmax = Vo2 bağıntıları ile verilir

g 2g

Hareketin Grafikleri:

h V a

Vo

hmax

0 t 0 2tçık t 0 t

tçık 2tçık tçık

-Vo -g

UYARILAR:

Aşağıdan yukarıya düşey atış hareketinde;

I

Cismin hızı, alacağı yol, çıkış süresi ve maksimum yükseklik kütlesinden bağımsızdır

II

Çıkış süresi iniş süresine eşittir

Ayrıca cisim yörüngesi üzerindeki iki nokta arasını çıkarken ve inerken eşit zamanlarda alır

III

V = Vo – 2gh bağıntısına göre; cisim yolu üzerindeki bir noktadan yukarıya ve aşağıya eşit büyüklükteki hızlarla geçer

Bu özelliğe bağlı olarak cisim atıldığı noktaya ilk hızına eşit ve zıt yönde bir hızla çarpar

IV

Cismin ivmesi her an yerçekimi ivmesine eşittir

Tepe noktasında hızı sıfır olduğu halde, ivmesi yerçekimi ivmesine eşittir

V

Düşey doğrultuda hareket etmekte olan bir sistemden bir cisim bırakılırsa; cisim bırakıldığı anda yerdeki gözlemciye göre; sistemin hızı ile atılmış bir cisim gibi davranır

VI

Atıldığı yere düşen cismin hızındaki değişimin büyüklüğü 2Vo dır

Bu değişim g, t, h’dan bağımsızdır

( g = 0 )

C ) Bir h Yüksekliğinden Yukarı Yönlü Düşey Atış

Cismin herhangi bir anda yere uzaklığı ( y )

y = h + Vot – 1 gt2 olup uçuş süresi sonunda y = 0 olur

2

tuçuş süresi için;

-h = Votuçuş – 1 gtuçuş2 alınır

2

UYARI: Hareketlinin uçuş süresi verilirse –h = Vot – 1 gt2 denklemi ile istenilen bilgiye

2

ulaşılır

Uçuş süresi dışında verilen büyüklükler yardımı ile problem çözümü için hareket hmax yüksekliğe kadar yukarı yönde düşey atış ve max yükseklikten itibaren serbest düşme hareketi olarak incelenebilir

YATAY ATIŞ

Yerden yüksekteki bir noktadan yatay olarak Vo hızı ile atılan bir cismin yapacağı harekete yatay atış denir

Yatay olarak atılan cisim atıldığı andan itibaren yatayda herhangi bir kuvvetin etkisi altında kalmadığından ( Fhava = 0 ) yatay doğrultuda sabit ilk hızı ile düzgün doğrusal hareket yapar

Cismin yatay hareketine ait denklemler ve grafikler;

Fx = 0 ise ax = 0

Vx = Vo

X = Vo t olur

Vx = Vo X

X

Vo

Alan = Vo

t = X tga = Vo

a

0 t t 0 t t

Vy = gt h = 1 g + t2

2

Cisim atıldığı andan itibaren düşey doğrultuda ise yerçekimi kuvvetinin etkisi ile serbest düşme hareketi yapar

Hareketin düşey bileşenine ait denklemler ve grafikler;

Vy = -gt y = - 1gt2

2

t

a t t

Alan = y

tga = g

Sonuç olarak yatay atış hareketi; yatayda düzgün doğrusal ( sabit hızlı ) hareket ile düşeyde düzgün hızlanan ( sabit ivmeli ) hareketlerin bileşkesi olan bir bileşik harekettir

Yörünge: Bir hareketlinin izlediği yola denir

Bileşik hareket yapan bir hareketlinin yörünge denklemini bulmak için iki boyuttaki hareket denklemleri arasında zaman yok edilir

X = Vo

t ise t = X bu ifade h = 1 gt2 de yerine konulursa;

Vo 2

h = 1 g

X2 ise h = g

X2 bulunur

Bu ifade bir parabol olup yatay atılan cismin

2 Vo2 2Vo2 yörüngesini verir

UYARI: Bir hareketlinin hız vektörü daima yörüngesine teğettir

EĞİK ATIŞ

Bir cisme yerden; yatay ile belli bir açı yapacak şekilde bir ilk hız verilerek yapılan atış hareketine eğik atış denir

Cismin ilk hızının bileşenleri, Vox = Vo

cosa ; Voy = Vo

sina dır

Eğik atılan cisim atıldığı andan itibaren yatay doğrultuda herhangi bir kuvvetin etkisi altında olmadığından ( hava direnci önemsiz) ilk hızının yatay bileşeni ile düzgün doğrusal hareket yapar

Hareketin yatay bileşeninin denklemleri;

Fx = 0 ise ax = o

Vx = Vo

Cosa

X = Vx t = Vo Cosa t

Hareketin Yatay Bileşeninin Grafikleri:

Vx (m/s) X

X

Vox

Alan = Xmax

a

0 tuçuş t (s) 0 t t (s)

Düşey doğrultuda ise cisim yerçekimi kuvvetini etkisi ile, ilk hızı Voy olan yukarıya doğru düşey atış hareketi yapar

Hareket denklemleri;

Fy = G ise ay = g

Vy = Vo

Sina

t – 1 gt2

2

tçıkış = Vo

Sina

g

hmax = ( Vo

Sina )2 şeklinde olur

2g

Hareketin Düşey Bileşeninin Grafikleri:

Vy y

Voy

tçık 2tçık h max

0 t (s)

t (s)

-Voy 0 tçık 2tçık

Eğik atış hareketi; yatayda düzgün doğrusal hareket ile düşeyde, yukarıya doğru düşey atış hareketlerinin bileşkesi olan bir bileşik harekettir

Eğik atış hareketi yapan cismin alabileceği en uzak yatay mesafeye menzil denir

Xmenzil = Vo

( Cosa ) tuçuş tuçuş = 2 Vo Sina

g

Xmenzil = Vo

Cosa 2 Vo Sina ise Xmenzil = Vo Sin2a bulunur

g g

ÖZELLİKLERİ:

I

Hareketin yörüngesi X = Vox

t ve h = Voy

t – 1 gt2 denklemleri arasında (t) nin

2

yok edilmesi ile bulunur

II

Cismin hız vektörü yörüngesine teğettir

Cisim ilk hızının Voy bileşeni sıfır oluncaya kadar yükselir, daha sonra da alçalır

III

Hızın Vy bileşeni değişken olduğundan daima hız vektörünün yönü ve büyüklüğü değişkendir

IV

Hızın doğrultusu tgQ = Vy den bulunur

Vx

V

Tepe noktasında Vy = 0 ve Vx = Vox = Vo

Cosa dır

VI

Çıkış süresi iniş süresine eşittir

VII

Cisim yörünge üzerindeki aynı yükseklikteki noktalardan eşit büyüklükteki hızlarla geçer

V = Vx2 + Vy2 = Vo2 – 2gh

VIII

Cisim aynı Vo hızı ile değişik açılarla atıldığında a = 450 olunca en uzağa gider

Bu durumda menzil maksimum olur

IX

a = 450 iken Xmax = 4hmax dur

X

Aynı ilk hızlarla atılan iki cismin atış açıları toplamı 900 ise menzilleri eşittir

XI

Cismin hareketi süresince hızındaki değişimin büyüklüğü 2Voy’dir

Bu değişme g, t, h dan bağımsız yalnızca a ve Vo’a bağlıdır

( g = 0 )

XII

Eğik atılan cismin maksimum yüksekliğe çıktıktan sonraki hareketi, yatay atıştır

10-21-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Atış Hareketleri Yeryüzü Hareketleri Atış Hareketleri Yeryüzü Hareketleri Yerden yüksekteki bölgelerde hareket eden cisimlerin yaptıkları hareketlere yeryüzündeki hareketler denir Bu hareketlerde; havanın direnci önemsiz sayılırsa cisim her an yerçekimi ivmesine sahip olur Hava direnci; Hava ortamında hareket eden cisimler daima hava molekülleri ile temas halinde olduklarından aralarında sürtünmeden dolayı bir kuvvet oluşur Bu kuvvete hava direnci denir ve Fh=kAV2 bağıntısı ile verilir Burada; k: Cisimle hava arasındaki direnç katsayısı A: Cismin hareket doğrultusuna dik olan en büyük kesiti V: Cismin hava ortamına göre hızıdır Eğer cisim duruyor ve hava hareketli ise buradaki V hızı havanın hızıdır UYARI: Ağırlığı çok küçük olan cisimler için havanın direnç kuvveti cismin hızı ile doğru orantılıdır Fh a V Yerden yüksekteki bir noktadan serbest bırakılan bir cismin hareketine serbest düşme denir Cisim bırakıldığı andan itibaren aşağıya doğru yer çekimi, yukarıya doğru havanın direnci kuvvetlerinin etkisinde kalır Bunların etkisinde cisim; a = Fnet = G-Fh a = mg-kAV2 ivmesi ile hızlanmaya başlar Hız artınca Fh m m m artar ve cismin ivmesi azalır İvme azalsa da cisim hızlanmaya ve havanın direnci artmaya devam eder Fh = G eşitliğini sağlayan hıza cismin limit hızı denir Limit hız hava ortamında hareket eden cisimlerin ulaşabilecekleri maksimum hızdır Cisim limit hıza ulaştıktan sonra hareketinin kalan bölümünü sabit hızla sürdürür Limit hız: Fh = G kAV2limit = mg Vlimit = mg bağıntısından bulunur kA SERBEST DÜŞME Havanın direnci önemsiz kabul edilirse; a = Fnet = G-Fk = mg-0 a = g bulunur m m m Bu durumda serbest düşme hareketi a = g ivmesi ile yapılan ters yönde düzgün hızlanan hareket olur Hareketlinin hareket denklemleri; V = gt Y = 1gt2 2 V = 2gh şeklindedir Hareketin Grafikleri: h V a = -g 0 t 0 t 0 t -g ÖRNEK: Yerden 320 m Yüksekten serbest bırakılan bir cisim kaç saniye sonra yere çarpar, hızı kaç msn’dir? ( g = 10 msn2 ) ÇÖZÜM: Cisim serbest düşme hareketi yapacağından h = 1gt2, V = gt ve V = 2gh bağıntıları geçerlidir 2 h = 320 m 320 = 0,510 t2 ise t2 = 64 ise t = 8 s de iner g = 10 m sn2 V = gt = 108 ise V = 80 ms bulunur DÜŞEY ATIŞ Bir cisme düşey doğrultuda bir ilk hız verilerek yapılan atış hareketine denir A ) Yukarıdan Aşağıya Doğru Düşey Atış Havanın direnci ihmal edilirse; Vo ilk hızı ile atılan bir cisim atıldığı andan itibaren yerçekimi ( G = mg ) kuvvetinin etkisi ile ( -y ) yönünde düzgün hızlanır Hareketin denklemleri; V = Vo + gt h = Vot + 1 gt2 2 V = Vo2 + 2gh y = - ( Vot + 1 at2 ) 2 Hareketin Grafikleri: h V a 0 t 0 t 0 t -Vo -g B ) Aşağıdan Yukarıya Doğru Düşey Atış Yerden düşey olarak yukarıya doğru atılan bir cisim; atıldığı andan itibaren yerçekimi kuvvetinin etkisi ile düzgün yavaşlar Hızı bir an sıfır olduktan sonra aynı ivme ile düzgün hızlanarak atıldığı yere geri döner Öyleyse yukarıya doğru düşey atış hareketi; yerçekimi kuvvetini etkisinde düzgün yavaşlayan harekettir Hareketin denklemleri; V = Vo – gt Hız Denklemi h = Vot – 1 gt2 Yol Denklemi 2 V = Vo – 2gh Zamandan Bağımsız Denklem Hareket yavaşlayan bir hareket olduğundan belli bir süre yükselecektir Yükselme süresine çıkış süresi ve bu süre içinde aldığı yola da maksimum yükseklik denir Çıkış süresi ve maksimum yükseklik; tçık = Vo , hmax = Vo2 bağıntıları ile verilir g 2g Hareketin Grafikleri: h V a Vo hmax 0 t 0 2tçık t 0 t tçık 2tçık tçık -Vo -g UYARILAR: Aşağıdan yukarıya düşey atış hareketinde; I Cismin hızı, alacağı yol, çıkış süresi ve maksimum yükseklik kütlesinden bağımsızdır II Çıkış süresi iniş süresine eşittir Ayrıca cisim yörüngesi üzerindeki iki nokta arasını çıkarken ve inerken eşit zamanlarda alır III V = Vo – 2gh bağıntısına göre; cisim yolu üzerindeki bir noktadan yukarıya ve aşağıya eşit büyüklükteki hızlarla geçer Bu özelliğe bağlı olarak cisim atıldığı noktaya ilk hızına eşit ve zıt yönde bir hızla çarpar IV Cismin ivmesi her an yerçekimi ivmesine eşittir Tepe noktasında hızı sıfır olduğu halde, ivmesi yerçekimi ivmesine eşittir V Düşey doğrultuda hareket etmekte olan bir sistemden bir cisim bırakılırsa; cisim bırakıldığı anda yerdeki gözlemciye göre; sistemin hızı ile atılmış bir cisim gibi davranır VI Atıldığı yere düşen cismin hızındaki değişimin büyüklüğü 2Vo dır Bu değişim g, t, h’dan bağımsızdır ( g = 0 ) C ) Bir h Yüksekliğinden Yukarı Yönlü Düşey Atış Cismin herhangi bir anda yere uzaklığı ( y ) y = h + Vot – 1 gt2 olup uçuş süresi sonunda y = 0 olur 2 tuçuş süresi için; -h = Votuçuş – 1 gtuçuş2 alınır 2 UYARI: Hareketlinin uçuş süresi verilirse –h = Vot – 1 gt2 denklemi ile istenilen bilgiye 2 ulaşılır Uçuş süresi dışında verilen büyüklükler yardımı ile problem çözümü için hareket hmax yüksekliğe kadar yukarı yönde düşey atış ve max yükseklikten itibaren serbest düşme hareketi olarak incelenebilir YATAY ATIŞ Yerden yüksekteki bir noktadan yatay olarak Vo hızı ile atılan bir cismin yapacağı harekete yatay atış denir Yatay olarak atılan cisim atıldığı andan itibaren yatayda herhangi bir kuvvetin etkisi altında kalmadığından ( Fhava = 0 ) yatay doğrultuda sabit ilk hızı ile düzgün doğrusal hareket yapar Cismin yatay hareketine ait denklemler ve grafikler; Fx = 0 ise ax = 0 Vx = Vo X = Vo t olur Vx = Vo X X Vo Alan = Vot = X tga = Vo a 0 t t 0 t t Vy = gt h = 1 g + t2 2 Cisim atıldığı andan itibaren düşey doğrultuda ise yerçekimi kuvvetinin etkisi ile serbest düşme hareketi yapar Hareketin düşey bileşenine ait denklemler ve grafikler; Vy = -gt y = - 1gt2 2 t a t t Alan = y tga = g Sonuç olarak yatay atış hareketi; yatayda düzgün doğrusal ( sabit hızlı ) hareket ile düşeyde düzgün hızlanan ( sabit ivmeli ) hareketlerin bileşkesi olan bir bileşik harekettir Yörünge: Bir hareketlinin izlediği yola denir Bileşik hareket yapan bir hareketlinin yörünge denklemini bulmak için iki boyuttaki hareket denklemleri arasında zaman yok edilir X = Vo t ise t = X bu ifade h = 1 gt2 de yerine konulursa; Vo 2 h = 1 gX2 ise h = g X2 bulunur Bu ifade bir parabol olup yatay atılan cismin 2 Vo2 2Vo2 yörüngesini verir UYARI: Bir hareketlinin hız vektörü daima yörüngesine teğettir EĞİK ATIŞ Bir cisme yerden; yatay ile belli bir açı yapacak şekilde bir ilk hız verilerek yapılan atış hareketine eğik atış denir Cismin ilk hızının bileşenleri, Vox = Vocosa ; Voy = Vosina dır Eğik atılan cisim atıldığı andan itibaren yatay doğrultuda herhangi bir kuvvetin etkisi altında olmadığından ( hava direnci önemsiz) ilk hızının yatay bileşeni ile düzgün doğrusal hareket yapar Hareketin yatay bileşeninin denklemleri; Fx = 0 ise ax = o Vx = Vo Cosa X = Vx t = Vo Cosa t Hareketin Yatay Bileşeninin Grafikleri: Vx (m/s) X X Vox Alan = Xmax a 0 tuçuş t (s) 0 t t (s) Düşey doğrultuda ise cisim yerçekimi kuvvetini etkisi ile, ilk hızı Voy olan yukarıya doğru düşey atış hareketi yapar Hareket denklemleri; Fy = G ise ay = g Vy = Vo Sina t – 1 gt2 2 tçıkış = Vo Sina g hmax = ( Vo Sina )2 şeklinde olur 2g Hareketin Düşey Bileşeninin Grafikleri: Vy y Voy tçık 2tçık h max 0 t (s) t (s) -Voy 0 tçık 2tçık Eğik atış hareketi; yatayda düzgün doğrusal hareket ile düşeyde, yukarıya doğru düşey atış hareketlerinin bileşkesi olan bir bileşik harekettir Eğik atış hareketi yapan cismin alabileceği en uzak yatay mesafeye menzil denir Xmenzil = Vo ( Cosa ) tuçuş tuçuş = 2 Vo Sina g Xmenzil = Vo Cosa 2 Vo Sina ise Xmenzil = Vo Sin2a bulunur g g ÖZELLİKLERİ: I Hareketin yörüngesi X = Vox t ve h = Voy t – 1 gt2 denklemleri arasında (t) nin 2 yok edilmesi ile bulunur II Cismin hız vektörü yörüngesine teğettir Cisim ilk hızının Voy bileşeni sıfır oluncaya kadar yükselir, daha sonra da alçalır III Hızın Vy bileşeni değişken olduğundan daima hız vektörünün yönü ve büyüklüğü değişkendir IV Hızın doğrultusu tgQ = Vy den bulunur Vx V Tepe noktasında Vy = 0 ve Vx = Vox = VoCosa dır VI Çıkış süresi iniş süresine eşittir VII Cisim yörünge üzerindeki aynı yükseklikteki noktalardan eşit büyüklükteki hızlarla geçer V = Vx2 + Vy2 = Vo2 – 2gh VIII Cisim aynı Vo hızı ile değişik açılarla atıldığında a = 450 olunca en uzağa gider Bu durumda menzil maksimum olur IX a = 450 iken Xmax = 4hmax dur X Aynı ilk hızlarla atılan iki cismin atış açıları toplamı 900 ise menzilleri eşittir XI Cismin hareketi süresince hızındaki değişimin büyüklüğü 2Voy’dir Bu değişme g, t, h dan bağımsız yalnızca a ve Vo’a bağlıdır ( g = 0 ) XII Eğik atılan cismin maksimum yüksekliğe çıktıktan sonraki hareketi, yatay atıştır