|
Prof. Dr. Sinsi
|
Kaos, Karmaşıklık Bilimi Ve Yeni Bilimsel Anlayışlar
Fraktal Geometri ve Kaos
Fraktal geometri, yaklaşık çeyrek asırdır bilim dünyasının gündeminde olan ve doğadaki karmaşık biçim ve süreçleri gittikçe daha iyi anlamamıza yardımcı olan özel bir geometri dalıdır Bu geometri dalı, orta öğretimden beri bildiğimiz Öklit (Euclid) geometrisinden çok farklıdır Neredeyse tamamen matematiksel soyutlamalardan oluşan olan Öklit geometrisi, bildiğimiz üçgenlerin, doğruların, karelerin ve küplerin geometrisidir Teknoloji ve matematik alanında çokça işimize yaramasına rağmen, bu geometri, doğadaki biçim ve süreçleri açıklama konusunda bize ancak sınırlı ve yaklaşık bir bilgi verebilmektedir Sözgelimi, bir ağacın geometrik ve biçimsel özelliklerini Öklid geometrisi ile tanımlamaya çalışmak imkansıza yakın zorlukta bir girişimdir
Fraktal geometriyi bugün bildiğimiz boyutlara taşıyarak bilim dünyasındaki yerini almasını sağlayan Benoit Mandelbrot, dağların konilere, yıldırımların düz çizgilere, kıyı şeritlerinin eğrilere, bulutların dairelere benzemediğine vurgu yaparak, doğayı anlamak için yeni bir geometriye ihtiyacımız olduğunu söyleyerek işe başladı (Mandelbrot, 1983) 1980′li yıllarda söylediği bu sözlerinde ne kadar haklı olduğu çok kısa bir süre geçtikten sonra anlaşıldı Fraktal geometri daha sonraki bölümde örneklerini vermeye çalışacağım gibi, bir çok yeni anlayış ve analiz yönteminin doğuşuna zemin hazırladı Bu gün özellikle biyolojide, canlı süreçleri ve yapıları anlayacak yepyeni yöntemlerimiz mevcut Bu yöntemlerin bir çoğunda “fraktal” bakış açısının izlerini görebilirsiniz
Fraktal geometri, basit geometrik kuralların sürekli tekrar edilmesi yoluyla elde edilen şekillerle ilgilenir Basit bir fraktal biçimi oluşturabilmek için, önceden tesbit edilen kuralların defalarca tekrarlanması gerekir ve teorik olarak çoğu zaman bu işlem sonsuza kadar sürdürülebilir Biçimleri oluşturmak üzere uygulanan kurallar genellikle bilgisayarlara basit fonksiyonlar olarak tanımlanır ve bu fonksiyonlara verilen başlangıç değerleri ile hesaplamalara başlanır Hesaplama zinciri, her seferinde fonksiyonun çözümünden elde edilen sonucun bir sonraki basamakta aynı fonksiyona girdi olarka verilmesi ile sürdürülür Fonksiyonların bu şekilde sürekli olarak tekrarlanarak hesaplanmasına matematikte “iterasyon” adı verilir İterasyonlar sonucu elde edilen sayısal değerler uygun yöntemlerle grafiksel görüntülere dönüştürülür ve böylece (eğer kullanılan fonksiyon uygun ise) fraktal biçimleri elde etmek gayet kolaydır
Fonksiyonlar ve iterasyon işlemi temel mantık olarak her ne kadar basit olsa da, binlerce ve bazen milyonlarca iterasyonun ard arda gerçekleştirilmesi insan gücünü aşan bir işlemdir Bu yüzden, karmaşık fraktal biçimleri oluşturabilmek bilgisayarların icadına kadar mümkün olamadı Fraktal geometrinin temelleri üzerine geçmişte yapılan çalışmalar da bilgisayarların icat edilmesini beklemek zorunda kaldı
Bildiğimiz anlamda fraktal biçimlere dair ilk çalışmalar Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından yapılmıştı Kendi adıyla anılan Julia kümesini (kendisi bilgisayarlar henüz icat edilmediğinden nasıl bir şey olduğunu gerçekte hiç görmemiş olsa da) keşfetti (Şekil 5) Julia’dan sonra uzun bir süre bu alanda dikkate değer bir gelişme olmadı 1960’larda ise Benoit Mandelbrot, kendi adıyla anılan Mandelbrot kümesini keşfederek fraktal geometrinin esas kurucusu oldu Mandelbrot kümesi (Şekil 6) bu gün fraktal biçimlerin en ünlüsü olarak kabul edilmektedir
Şekil 3 Koch’un kar tanesi
Eşkenar bir üçgenle başladıktan sonra sürekli olarak her kenarın orta üçte birinin çıkartılarak, yerine çıkartılan parçadan iki tane eklenmesi yoluyla oluşturulan basit bir fraktal biçimdir En çarpıcı özelliklerinden birisi, kenar uzunluğu sonsuz iken alanının sınırlı olmasıdır
Şekil 4 En basit fraktal şekillerden birisi olan Sierpinski üçgeni
Eşkenar bir üçgenden başlanarak, her seferindeki eldeki üçgenlerin üçte birlik bir kısmını uzaklaştırmak yoluyla elde edilir Bilgisayarlar aracılığıyla ne kadar yakından bakılırsa bakılsın, Sierpinski üçgeni iç içe geçmiş (nested) üçgenli bir yapısal kalıp gösterir
Şekil 5 İlk defa Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından tanımlanan 20 Yüzyılın başlarında tanımlanan Julia kümesinin bilgisayar tarafından çizilmiş ve renklendirilmiş hali
Şekil 6 Benoit Mandelbrot tarafından keşfedilen ve fraktal biçimlerin en ünlülerinden birisi olan Mandelbrot kümesi Mandelbrot kümesi aynı zamanda Julia kümelerini üretmek için de kullanılmaktadır
Şekil 7 Mandelbrot kümesinin bir noktasından büyütülerek alınmış detay görüntüsü Sonsuz karmaşıklığa sahip bir geometrik şekil olduğundan Mandelbrot kümesinin karmaşıklığı yakından baktıkça artar
Şekil 8 Doğadaki fraktal-benzeri biçimlerden örnekler Doğada bulunan canlı-cansız bir çok biçim fraktal geometrik özellikler sergiler Bundan dolayı fraktal geometri tabiattaki biçim ve oluşları açıklamak için uygun bir model olarak değerlendirilmektedir
Şekil 9 Sığırcık kuşlarının oluşturdukları sürülerin dinamik ve değişken biçimleri, doğada karmaşık dinamiklerle biçim oluşumlarının en ilginç örneklerinden birisidir Oluşan şekillerin bir çoğu fraktal geometrik özellikler taşır
Fraktal geometrik şekillerin önemli özellikleri, başlangıç şartlarına hassas bağlılık, sonsuz karmaşıklık ve özbenzeşimdir Görüldüğü gibi, kaotik sistemlerle ortak olan bir çok özelliğe sahip olan fraktal geometri “kaosun resmi” olarak da anılır Bu benzerlik tesadüfi değildir; benzerliğin altında yatan esas unsur, basit de olsa, fraktalları üreten denklem veya fonksiyonların iterasyonları sonucunda ortaya çıkan “davranışların” kaotik olmasıdır Burada “davranış” derken kastedilen şeyin, tekrarlı hesaplamalar boyunca elde edilen sayı dizileri olduğu unutulmamalıdır
Fraktal (Kesirli) Boyutlar
Fraktal geometrinin anlayışımıza kattığı önemli bir kavram da “fraktal boyut” kavramıdır Boyut dediğimiz şey, özellikle soyut içerimleri olan bir kavramdır Bildiğimiz gibi, matematikte “nokta”, boyutsuz bir kavramı temsil etmek için kullanılır Benzer şekilde, eğrilik ve karmaşıklığına bakılmaksızın bir çizgi (yahut eğri) tek boyutlu, bir yüzey iki boyutlu ve katı nesneler üç boyutlu olarak bilinir Einstein’in görelilik kuramından sonra, içinde yaşadığımız üç boyutlu evrene bir de dördüncü zaman boyutu ilave edildi Fakat bizim yapısal (geometrik) anlamda kavrayabildiğimiz boyutların sayısı üçtür Zira içinde yaşadığımız mekanlar üç boyutludur (yahut biz o kadarını algılayabildiğimiz için bize öyle gelir) Dolayısıyla dünyamızdaki tüm maddesel nesneler gerçekte bizim için üç boyutludur (ne kadar ince olsalar da en, boy ve yükseklikleri vardır) Daha alt boyutlar (iki, bir ve sıfır boyut) bizim için ancak kavramlardan ibarettirler; bunlarla gerçek hayatımızda karşılaşmayız Eğer ortaöğretim sırasında nokta, eğri, doğru veya yüzeylerden kafası karışanlardansanız, bu kısmı seveceksiniz: Fraktal geometri bizlere bu bildiğimiz boyutlara ilaveten kesirli (fraktal) boyutları armağan etti Fraktal geometri sonrası 1,23 boyutlu çizgilerden, 2,355 boyutlu yüzeylerden bahsedebiliyoruz artık
Fraktal boyut, bir yapının karmaşıklığını bize gösteren oldukça faydalı bir sayısal değerdir Bir üçgenin, yahut bir dairenin kenarlarını oluşturan çizgilerin, yahut o izgileri oluşturan sonsuz sayıda noktanın boyutunu belirlemekte bir zorluğumuz yok Sonuçta tüm Öklit biçimleri sıfır, bir, iki ve üç boyutlu bileşenlerden oluşurlar Gerçek dünyada da sağduyumuz (beynimizin kolaylaştırıcı işlevleri sayesinde) boyut tesbitinde zorlanmaz Ayakkabımızın biraz çok-birimli bir yapısı olsa da, üç boyutlu bir nesne olduğunu biliriz Ayakkabımızın dış yüzeyi ise, kuramsal olarak iki boyutlu bir yüzey olarak düşünülebilir Evimizde duvara asılı durumda duran bir ayna da böyledir Düz bir aynanın yüzeyi aslında iki boyutlu bir yüzey örneğidir Sağduyumuzun bize söylediği budur ama, aslında gerçek biraz daha farklıdır
Ayakkabınızın, yahut aynanızın yüzeyine mikroskopla baktığınızı düşünün Ayakkabınızın yüzeyi mikroskobik olarak karmakarışık bir yapıya sahiptir ve asla dışarıdan bakıldığı zaman görüldüğü gibi dümdüz değildir Ayna için de aynı şey geçerlidir: Güçlü bir mikroskopla baktığınızda göreceğiniz görüntü, eğer daha önce görmediyseniz sizi kesinlikle şaşırtacaktır O güzelce sırlanmış ve düzeltilmiş aynanızın yüzeyi girinti ve çıkıntılarla, (tabir yerindeyse) dağlar ve vadilerle doludur Bu görüntülerde gördüğünüz yapıları artık iki boyutlu yüzeyler olarak görmekte zorlanmaya başlarsınız İşte fraktal boyut kavramı da burada devreye girer Gördüğünüz şeyi matematiksel olarak bir-iki-üç boyuttan herhangi birine oturtamıyorsanız, ara değerleri tercih etmeyi düşünebilirsiniz Fraktal geometrinin de bize sağladığı avantaj budur
Fraktal biçimler, sonsuz kenar uzunlukları olmasına rağmen sonlu (sınırlı) alanları çeviren şekiller içerir (Koch kar tanesi ve Mandelbrot kümesi gibi; sırasıyla Şekil 3 ve Şekil 6) Bu yapıların sınırlarını oluşturan çizgiler o denli karmaşıktır ki,bunları tek boyutlu çizgiler olarak nitelemek matematiksel olarak artık doğru değildir Zira bu şekilllerdeki kenarları oluşturan algoritma (matematiksel bir fonksiyonun tekrar tekrar hesaplanması anlamında) bir “iterasyon”dur ve iterasyon sonsuza ilerlerken ilginç bir şey olur: Kenar uzunluğu sonsuza giderken, alan hep sınırlı kalır Bunu anlamak için, bir dairenin içine, kareden başlayarak kenar sayıları gittikçe artan çokgenler yerleştirdiğimizi düşünebiliriz Kare dört kenarlıdır; çevresi ise kenar uzuluğununun dört katıdır Şimdi, ilk çemberimizin içinde kalmak şartı ile kenar sayımızı artıralım: Beşgen, altıgen, yedigen, sekizgen… Daire içine yerleştirdiğimiz şekillerin kenar sayısı arttıkça iki şey olur: Öncelikle kenar uzunlukları kısalır ve kenar sayısı artsa da uzunluğun kısalmasına bağlı olarak toplam çokgen çevresi, gittikçe azalan bir hızla artarİkinci olarak da, çokgenimizin kenar sayısını artırmakla, çokgenin kenar uzunluğunu daireye gittikçe daha çok yaklaştırırız Fakat kaç kenarlı olursa olsun, çokgenlerimizin çevresi asla daireyle eşit olmayacaktır; ta ki, çokgenimizin kenarları, daireyi oluşturan çemberin “eğri kenarına” dönüşene kadar İşte bu süreç içinde sonsuz kenar kullanabiliriz; fakat toplam alanımız yine de ilk dairemizin alanından daha küçük olacaktır
Fraktal boyut ölçümü için matematikte Hausdorff-Besicovitch boyutu kavramı sıkça kullanılır Kısaca tanımlamak gerekirse “bir yapıyı (örneğin bir çizgiyi) kaplamak için gereken disklerin çapı ve sayısı arasındaki ilişki” olarak ifade edilebilir Formül olarak da
D (Hausdorff-Besicovitch boyutu) = lim (h–0)[log N(h)]/[log(1/h)] olarak verilir
Burada N(h), kaplamak için gerekli olan disklerin sayısı ike, (1/h) ise diskin çapını belirtir Bunu “bir birimlik bir doğru” için yapacak olursak: [log2n/log2n]=1 olur ki, bir doğru parçasının bildiğimiz topolojik (Öklid) boyutu da 1’dir Fakat bu hesabı bir Koch eğrisi için yaparsak, Koch eğrisinde kenar uzunluğu her “büyütmede” 1/3′ün katları şeklinde arttığından:
(log1/log1), (log4/log3), (log16/log9), (log64/log27), (log4^n/log3^n) = (nlog4/n log3) = (log4/log3) = 1,261859507
Buradaki sonucu günlük tecrübeler ışığında tam olarak değerlendimek biraz zor olabilir Koch eğrisi aslında bir çizgi olmakla birlikte, karmaşıklığı çok fazla olduğundan, boyutu 1′den fazladır Fakat iki boyutlu bir yüzey de değildir; dolayısıyla bu karmaşık bir çizginin boyutunu 1 ile 2 arasındaki bir sayıyla ifade etmemiz gerekir İşte Hausdorff-Besicovitch boyutu bize bunu sağlamaktadır
Buradan, fraktal geometri için yeni bir tanım üretebiliriz Bazı kaynaklarda fraktal biçimlerin “fraktal (kesirli) boyutları” olduğu sıklıkla göze çarpar; yukarıda ben de benzer bir ifade kullandım Fakat (Peano doldurucu eğrileri gibi) bazı “fraktal” yapılar böyle değildir Onların Hausdorff-Besicovitch boyutu 2 iken, topolojik boyutları 1 olabilir (Alttaki şekilde de görüldüğü gibi Peano eğrisi aslında tek boyutlu bir eğridir) Yani bazı fraktallerin de Hausdorff-Besicovitch boyutu, bir “tam sayı” olabilir
Şekil 10 Yüzeyi dolduran Peano eğrisinin oluşturulma basamakları ( )
Dolayısıyla fraktal biçimlerle ilgili daha doğru bir tanım olarak şunu söyleyebiliriz:
Fraktal, Hausdorff-Besicovitch boyutu (D) topolojik boyutundan (Dt) daha büyük (D>Dt) olan nesnelerin genel adıdır
Süreçlerdeki fraktal boyutlar:
Fraktal boyut kavramı, özellikle canlı dünyaya bakışımızda devrimsel değişikliklere yol açtı Fraktal geometri dendiğinde aklımıza genellikle canlıların veya doğanın biçimsel özellikleri geliyor olabilir Fakat fraktal geometrinin bize sağladığı faydalar, biçimleri anlamaktan da çok ötelere geçmiştir Doğada meydana gelen bir çok olayın zaman içindeki seyirlerinin incelenmesi sonucunda, bu davranış biçimlerinin “fraktal” karakterler gösterdiği görülebilir Örneğin, insan veya hayvanlardan, beynin aktivitesi sırasında kaydedilen EEG (elektroensefalografi) dalgaları, özel yöntemlerle incelendiğinde, sadece ekranda görüldüğü gibi “iki boyutlu çizgilerden” ibaret olmadıkları, yüksek karmaşıklığa sahip fraktal biçimler oldukları artık bilinen bir olgudur Bunun gibi daha bir çok doğal süreçte fraktal karmaşıklık karşımıza çıkar Hatta, daha ileriki bölümlerde değineceğimiz gibi, bir sistemin davranışındaki değişiklikleri ölçmek için “fraktal boyutlarındaki değişmelere bakmak” artık çok yaygın olarak kullanılmaya başlanan bir analiz yöntemidir
Az önce bahsettiğimiz garip çekerler üzerinde yapılan boyut incelemeleri de fraktal sonuçlar vermektedir Yüksek karmaşıklığa sahip bu grafiklerin sadece görsel olarak değil, sayısal ve matematiksel olarak da fraktal yapıda olduklarını böylece gösterebiliyoruz (yani, Hausdorff-Besicovitch boyutları, topolojik boyutlarından daha büyük)
Şekil 11 Ikeda çekerinin farklı büyütmelerdeki görünümleri (Soldan sağa, 1-4-16 ve 64 kez büyütülmüş görüntüler)
Sonuçta gelinen noktada ilginç bir durum da karşımıza çıkıyor: Nasıl ki Öklid geometrisinin noktaları, çizgileri, düzlemleri ve küpleri aslında birer idelalleştirme ise, sıfır, bir-iki ve üç boyut kavramları da aslında bizler için birer idealleştirmeden ibarettir İnsan beyni, etrafındaki evreni basitleştirerek algılamaya yönelik olarak çalışan bir aygıt olduğundan bu durum çok da şaşırtıcı olmasa gerek Karmaşık matematiksel tekniklerin ve bilgisayarların gelişimine kadar beklemesi gereken bu fraktal ve kaotik yapı-süreç anlayışı, etrafımızdaki hiç bir şeyin aslında o kadar basit olmadığını bize bir kez daha farkettiriyor
Kaosu Ölçme Yöntemleri
Bir sistemin kaotik olup olmadığını anlamak için elimizde ilk olması gereken şey, sistemin davranışına dair olabildiği kadar uzun süreyle kaydedilmiş bir değişkenler kaydıdır Sistemin zamanla değişen parametrelerini gösteren ve sistemin zaman içinde nasıl bir davranış gösterdiğinin bir yansıması olanb u tip verilere “zaman serileri” adı verilir Zaman serileri, herhangi bir değişkenin zamanın bir fonksiyonu olarak değişimini gösteren verilerdir İnsan kafatasının üzerinden kaydedilen elektroensefalogram verileri, yıllara göre fiyat endeksleri, yerkabuğu hareketlerinin kayıtları yahut çalışan bir makinanın yüksek frekanslı titreşimleri, zaman serilerine bir kaç örnek olarak zikredilebilir Şimdi, bir zaman serisinin kaotik olup olmadığını anlamak sık kullanılan bazı matematiksel araçlara kısaca bir göz atalım:
Çeker oluşturma (attractor construction):
Zamanla değeri değişen bir değişkenin kaotik analizi için ilk basamaklardan birisi genellikle sistemin davranışının faz uzayındaki görünümünün elde edilmesidir Bir dizi karmaşık hesap gerektiren bu süreç, bilgisayarlar yardımıyla bugün kolaylıkla gerçekleştirilebilmektedir MATLAB gibi yazılımların içinde bu işlem için kullanılabilecek hazır makro ve algoritmalar mevcuttur Çeker oluşturmak için bilinmesi gereken en önemli parametre “gömme boyutu” (embedding dimension) denen parametredir Gömme boyutu, sistemin davranışlarını etkileyen bağımsız dinamik kaynakların sayısını tahmin eden bir hesaplamadır ve böylece incelenen sistemin davranışının en iyi biçmde görsel hale getirilebilmesi için kaç boyutlu bir faz uzayına ihtiyaç olduğu bu şekilde hesaplanır Görsel tutarlılık açısından üç boyuttan daha büyük gömme boyutları pek tercih edilmese de bazı karmaşık kaotik sistemlerde çok daha büyük boyutlu faz uzaylarına ihtiyaç duyulabilmektedir Gereken bir diğer parametre de “zaman gecikmesi” (time delay) parametresidir Bu hesaplama sonucunda, zaman serisinin hangi zaman aralıklarında geciktirilerek grafiğe dökülmesi gerektiği hesaplanır
Lyapunov Üstelleri:
İlk defa Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) tarafından tanımlanan bu yöntem, bir zaman serisinin kaotik bileşenler içerip içermediğini anlamamıza yarayan matematiksel bir analiz yöntemidir Lyapunov üsteli, bir sistemin olası durumlarını gösteren “çeker”ler üzerinde, başlangıçta yakın komşu olan iki rastgele noktanın birbirlerinden ayrılma derecesinin sayısal bir fadesidir Eğer bu komşu noktalar hızla birbirlerinden ayrılıyorlarsa, hesaplanan en büyük Lyapunov üsteli pozitif bir değerde olacaktır ve bu da incelenen sistemin davranışının kaotik olduğuna dair önemli bir işarettir Başka bir deyişle Lyapunov üsteli, “başlangıç şartlarına hassas bağlılık” özelliğinin sayısal bir göstergesidir
En büyük Lyapunov üstelinin pozitif olması kaotik durumun bir gostergesidir Laypunov üstellerinin sayısı sistemin kurgulandığı faz uzayının boyut sayısına göre değişir Örneğin, üç boyutlu bir faz uzayında karşılaşılabilecek Lyapunov üstelleri (λ1, λ2, λ3) şöyledir; (-,-,-): sabit nokta, (0,-,-): limit döngü, (0,0,-): simit, (+,0,-): garip çeker (kaos) Lyapunov üsteli hesaplamaları genellikle uzun süreli ve temiz kaydedilmiş zaman serileri üzerinde en iyi sonucu verirken, daha kısa süreli ve kısmen gürültülü sinyaller üzerinde yapılacak hesaplamalar için ilave bazı algoritmalar kullanılması gerekir
Poincaré Kesiti (Poincaré Section):
Oluşturulan çekerler (attractor) genellikle çok karmaşık yapılara sahip olabilirler ve görsel olarak incelenmesi çoğu zaman oldukça zordur Poincaré kesitleri olarak bilinen yöntem bu zorluğu aşmadaki en önemli yardımcılardan birisidir Adından da anlaşılacağı üzere, bu yöntemle, karmaşık yapılı kaotik çekerlerin istenen herhangi bir noktasından geçen kesitler alınarak, bu kesitlerin görünümlerine ve özelliklerine göre sistem hakkında bazı yargılara varılabilir Bu yöntem, canlı dokuların yapısını anlamak için onlardan ince kesitler alınarak mikroskop altında incelenmesine dayanan histoloji biliminin işlevine çok benzer
Faz uzayına çizilen çekerlerden elde edilen kesitlerin görüntüleri sistemin dinamiği hakkında da bir fikir verir Nasıl ki bir simitten alınan kesit bir daire veya elips olarak karşımıza çıkarsa, burada da kesitlerin görüntüleri, faz uzayındaki çekerin yapısı hakkında bize bir çok fikirler verir Özetle söylemek gerekirse, Poincaré kesitindeki noktaların dağılımı tek ve küçük bir bölgede sonlu sayıda ise hareket periyodik, kapalı bir eğri ise hareket yarı periyodik, belirli alanlarda yoğunlaşmış kümeler şeklinde ise hareket kaotiktir
Doğrusalsızlığın Tesbiti (Detection of Nonlinearity):
Bir zaman serisinde izlenen sinyallerin doğrusal olup olmadığını anlamanın da bazı matematiksel yolları vardır Bir dizi karmaşık matematiksel teknikle, bilgisayarların hızlı işlem gücünü de kullanarak bugün bu işlemler hızlı bir biçimde yapılabilmektedir Bu amaçla en çok kullanılan yöntem “vekil veri analizi” (surrogate data analysis) denen yöntemdir Bu analiz tipinde, eldeki sinyalin bir bezerini oluşturmak için doğrusal (lineer) bir algoritma kullanılır ve üretilen yapay (vekil) sinyalle gerçek sinyal arasındaki ilişkiler incelenir Eğer ilişki yoksa, sonuçta sinyalin doğrusal olmadığı gösterilmiş olur Bu yöntemin yanında daha başka bir çok hesaplama tekniği de önerilmiştir fakat hepsinin de sadece belli durumlarda geçerli olmasına neden olan bazı zayıflıkları vardır (Yılmaz ve Güler, 2006)
Fraktal boyut analizi
Daha önce bahsedildiği gibi “fraktal” terimi, değişik ölçeklerde artarak karşımıza çıkan karmaşıklığın bir ifadesidir Bir geometri alanı olmasının yanı sıra, özellikle zaman serilerinin karmaşıklık ve kaotiklik özelliklerini belirlemek için kullanılır Fraktal sinyal analizi, fraktal doku analizi gibi farklı tekniklerin kullanıldığı bu tip analizlerde temel amaç zaman serisinin karmaşıklığının saptanmasıdır Bir zaman serisinin fraktal boyutlarının artışı sürecin karmaşıklığının bir ölçüsü olarak kullanılmaktadır
|