Matematiğin Kısa Bir Tarihi

Çalışmalarından bahsedeceğimiz bu dönemin son matematikçisi Cemşit Al-Kaşi’ dır (1380-1429) Kaşan (Iran) da doğmuştur Kaşan’da yetiştiği anlaşılan Al-Kaşi, 1420 den itibaren ölene kadar, Uluğ Bey ve Kadızade ile Semarkand’ ta Uluğ Bey medresesinde ve rasathanesinde çalışmıştır Timurleng’in torunu olan Uluğ Bey (1393-1449) iyi bir matematikçi, bilim aşığı bir hükümdardı O tarihlerde Uluğ Bey’ in medresesinde 60 civarında zamanın en iyi bilim adamları ders vermekte ve araştırma yapmaktadır; bu metrese, pozitif bilimlerin okutulduğu ve bilimsel bir saygınlığı olan İslam ülkelerindeki son metresedir Al-Kaşi, Uluğ Bey’le beraber, N Al-Tusi’nin ziçlerinden de yararlanarak, Ziç-i-Hakani olarak bilinen Uluğ Bey’in ziçlerini hazırlamıştır Bu ziç’te 1 den 90 dereceye kadar olan açıların, birer dakika arayla, sinüsleri verilmiştir Bu da 60x90=5400 giriş demektir Her açının sinüsü, virgülden sonra 8 haneye kadar verilmiştir Bu iş bugünün imkanlarıyla bile, kolayca yapılacak bir iş değildir Ayrıca bu ziç, güneş, ay ve gezegenlerin konumu ve hareketleri hakkında detaylı bilgi ve gözlem tabloları içermektedir Al-Kaşi muhteşem bir hesap yeteneği olan matematikçidir Yarı çapı 1 olan bir daireyi 3x2^28=805 306 368 kenarlı bir poligonun içine oturtarak, pi sayısının virgülden sonra 16 hanesini ( 10 ve 60 tabanlı sayı sistemlerinde) doğru olarak vermiştir Bu rekor ancak 200 yıl sonra kırılabilecektir Al-Kaşi, içeriğinin zenginli, ispatlarının açıklığı ile orta çağın en iyi kitaplarından biri olarak kabul edilen “Aritmetiğin Anahtarı” başlıklı bir kitabın da yazarıdır Ondalık kesirlerle 4 işlemin nasıl yapılacağını açıklayan da Al-Kaşi’dir Al-Kaşi’nin ölümünden sonra Uluğ Bey’e ziçlerini tamamlamasına ve gerekli izahların yazılmasına, Al-Kaşi ve Kadızade’ nin öğrencisi olan, Ali Kuşçu yardım etmiştir 1449 da Uluğ Bey’in, devlet işleriyle uğraşmıyor, hayırsız bilimle uğraşıyor diye öz oğlu ve akrabaları tarafından öldürülmesinden sonra, Uluğ Bey’in medrese ve rasathanesi de çökmüştür Bu İslam dünyasındaki son önemli positif bilim merkezinin sönmesidir Bu son ismi geçen kişiler İslam dünyasının matematikçi diyebileceğimiz son bilim adamlarıdır 1450 den 1930-40 lar’a kadar İslam dünyasında orijinal bir çalışma yapmış ve matematikçi diye nitelendirebileceğimiz bir kişinin ismi bilim tarihinde geçmemektedir

Bu bölümü Müslümanların matematiğe katkılarının bir değerlendirmesiyle bitireceğim Müslümanların matematiğe katkılarını, bu konuda çok çelişkili yargıların olması nedeniyle, değerlendirmek çok zordur Müslümanların matematiğe katkıları kimi yazarlar tarafından sıfırlanırken, kimi yazarlar tarafından da göklere çıkartılmaktadır Kimi yazarlara göre Müslümanların matematiğe hiç bir katkısı olmamıştır; bütün yaptıkları bir buzdolabı görevi görmekten ibarettir Yunanlıların pişirdiklerini, Avrupalılar onu yiyecek düzeye gelene kadar saklamışlar, günü geldiğinde de Avrupalılar onu alıp yemişlerdir Kimilerine göre ise, Müslümanların matematiğe ve astronominin gelişmesine kapsamlı özgün katkıları olmuştur; bu gün batılı bilim adamlarının adını taşıyan bir çok teorem veya sonuç daha önce Müslümanlar tarafından bulunmuştur Görülen o ki a) Müslümanlar sulayıp büyüttükleri ağaçların meyvelerini toplayamamışlar; ve b) Müslümanların bilime katkıları yeteri kadar araştırılıp değerlendirilmemiştir Bu işi yapanların çoğunlukla yine batılı bilim tarihçilerin olduklarını unutmamak gerek Kendi bildiğim kadarıyla, Müslüman matematikçilerin Küresel geometriye, cebire, sayılar teorisine, trigonometri ve astronomiye özgün katkıları olmuştur ve bu katkılar hiçte küçümsenecek ölçülerde değildir Ayrıca, insanlığın ortak ürünü olan bilimin önemli bir halkası, eskiyle yeniyi bağlayan halkası, İslam bilimidir Bu halka olmadan, bilimin bugünkü düzeye gelmesi herhalde mümkün olmayacaktı

Bir sonraki bölüme geçmeden “İslam ülkelerinde bilim niye çöktü; batıya bilim nasıl girdi “ soruları hakkında bir kaç şey söylemem gerekir Bu sorular, tek bir kişinin yanıtlayabileceği sorular değildir; ancak geniş ve çok yönlü bir ekip bu sorulara tatmin edecek cevap verebilir Şimdi söyleyeceklerim, başka biri için, İslam ülkelerinde bilimin çöküşünün en derin nedenleri olmayabilir Bu konu çok tartışılan bir konudur, bildiginiz gibi Şimdi söyleyeceklerim sadece kendi görüşlerimi yansıtmaktadır a) Haçlı seferleri İslam dünyasında, bugün de kanayan, derin yaralar açmıştır İlk haçlı seferleri sırasında yapılan büyük katliamlar ve yamyamlık olayları, bölge insanlarını derin bir ümitsizlik, çaresizliğe ve bunalıma sokmuştur Niçin bu duruma düştüklerini sorgulayan insanlar, İslam’ın başında olduğu gibi din duygularının güçlendirilmesi, dini ve imanı için ölecek insanların yetiştirilmesi gerektiği kararına varmışlar İmam Gazalinin görüşlerinin de etkisiyle, bu tarihlerde, 1100-1150 arası, İslam dünyasında akli bilimlerden nakli bilimlere bir dönüş olmuştur Bu olayın üzerine, 1250 lerden itibaren başlayan Moğol istilası sonucu, eğitim kurumları ve kütüphanelerin en önemlilerinin yok oluşunun eklenmesi; benzeri durumun Endülüs’ün kademeli olarak Hrıstiyanların eline düşmesi sonucunda da olması, bu geçişi kolaylaştırmış, derinleştirmiştir ve geri dönülmesi neredeyse olanaksız bir noktaya getirmiştir Ancak haçlı seferleri ve Moğol istilası gibi derin izler bırakan bir olay bu gidişi tersine çevirebilirdi; bu da 1918 de yaşanan son “haçlı” seferiyle yaşanmıştır Atatürk’ün “Hayatta en hakiki mürşit ilimdir, fendir; bunun dışında mürşit aramak, gaflettedir, delalettir “ sözü, nakli bilimlerden akli bilimlere dönüşü simgeler b) Medreseler İslam dünyasında daha çok 1150 den sonra çoğalmaya başlamışlar ve “nakli bilim” ( ya da “hayırlı bilim”) eğitimi veren okullar olarak çoğalmışlardır Osmanlı İmparatorluğuna Araplardan geçen bilim geleneği akli ilim değil, nakli bilim geleneğidir c) Medreseler, vakıflara bağlı olmalarına rağmen, kurumsallaşıp, gelişmemiş; aksine her türlü yeniliğe karşı çıkan, yobaz üretim merkezi olmuşlardır d) Din’i ve din’i ulemayı kendine ideolojik dayanak yapan yönetici sınıf, ulemayı imtiyazlı bir sınıf konumuna getirirken, pozitif bilimlerle uğraşanları ezmişlerdir e) İmtiyazlı bir sınıf konumuna gelen, devlet ve halk nezdinde büyük bir saygınlığa erişen ulema sınıfı, pozitif bilimlerin yeşermesine, bu bilimlerle uğraşan insanların toplum içinde saygın bir konuma gelmelerine mani olmak için açık-gizle her türlü çabayı göstermişlerdir ve bunda da başarılı olmuşlardır f) Dar bir ortamda yetişen, dünya görüşünden yoksun, ülke ekonomisiyle kendi ekonomisini karıştıran idareci sınıfları bilimle teknoloji arasındaki ilişkiyi hiç bir zaman anlamamış; ülkelerinin geri kaldığını ancak askeri yenilgilerden sonra anlayabilmişlerdir Bu durumda, köklü reform yapmaları gerekirken, düzen bozulur korkusuyla, koyma suyla değirmen döndürmeye çalışmışlar, orduyu düzeltmek için bir-kaç yabancı uzman çağırmakla yetinmişlerdir İslam ülkelerinde, özellikle Türkiye’de, nakli bilimlerden akli bilime dönüş, yukarıda 9 haçlı seferi olarak nitelediğim, bütün İslam ülkelerinin batının işgaline uğradığı, 1ci dünya savaşından, özellikle1930 lar’dan sonradır Bu ülkelerde, bilimsel gelişmeler ancak bu tarihten sonra, emekleye-emekleye de olsa, gelişmeye başlamıştır

Batıya matematik nasıl girdi sorusuna gelince, bu üç yoldan olmuştur a) Ortadoğu’da 4 krallık kurup, 200 yıla yakın bir süre Ortadoğu’da kalan haçlılar vasıtasıyla, b) Arap medreselerinde okuyan batılı öğrenciler vasıtasıyla; ve c) Endülüs’ten Büyük kapının Endülüs olduğu gözükmektedir Her ne kadar da Endülüs’te önemli matematikçiler yetişmemiş olsa da, Endülüs’te eğitimin yaygın; ortamın bilim için uygun olduğu, felsefe, kimya tıp, gibi bilim dallarda oldukça ileri olduğu bilinmektedir Örneğin, 11 asırda Kordoba’da 400 bin kitablık merkez kütüphanesi, 17 medrese ve bir çok halk kütüphanesi bulunuyordu Buralarda Hristıyan ve Musevi öğrenciler okuyabiliyordu Toleodo İspanyolların eline geçtiğinde (1100), Toleodo piskoposu, büyük bir çeviri bürosu kurarak, çok sayıda bilimsel eseri, Arap metreselerinde yetişmiş olan Musevi çevirmenler vasıtasıyla, Arapçadan Latince’ye çevirtmiştir 12 asra kadar Avrupa’daki okullar, din ağırlıklı skolastik eğitim verilen manastır veya katedral okullarıydı 12 asrın ortalarından itibaren İtalya’da (Bolonya, Padova), öğrencilerin “universita” dedikleri dernek türü kurumlarda bir araya gelerek, eğitim için birleşmiş, böylelikle daha sonra üniversite olacak kurumların çekirdeklerini dikmişlerdir Bu kurumlarda ders veren hocalar Arap metreslerinde okumuş batılı (İtalyan) gençlerdi Daha sonra bu kurumlarda okuyan Avrupalı öğrenciler Almanya’da (Köln), Fransa’da (Sorbone) ve İngiltere’de ( Oxford, Cambrigde) üniversitesi olacak olan eğitim kurumlarını kuracaklardır Bu dönemde Kutsal Roma-Germen imparatoru olan 2 Frederik’in açık görüşlü, bilime değer veren bir insan oluşunun ve, 1200 lerin başında kurulmuş olan, Fransican tarikatının katkılarının da pozitif bilimlerin Avrupa’ya’ya girmesinde ve gelişmesinde etkili olmuş olduğunu belirtmek gerekir 1200 ile 1500 ler arası Avrupalıların bilimsel kaynakları Arapça eserlerdi Uğraştıkları sorular da bu kitaplarda Müslüman matematikçilerin uğraştığı sorulardı Bunlar da, bazı geometri soruları, 3 dereceden polinomun köklerini bulma sorunu, sayılar teorisiyle ilgili sorulardır 1450 lerden sonra, İstanbul’ dan İtalya’ya giden kitaplardan, matematiğin Yunanca kaynaklarına inmeye, Yunanca kaynaklardan çeviri yapmaya başlıyacaklardır; 1600 lerden sonra Arapça kaynaklar büyük ölçüde terk edilecektir Avrupa’da matematikte özgün gelişmeler 1500 lerden sonradır Şimdi biraz bunlardan bahsetmemiz gerekiyor

Batıya bugünkü kullandığımız Hind-Arap rakamları (1,2,,9, 0) 1200 lerin başında Fibonacci’nin ( Leonordo de Pisa, 1175-1250) yazdığı “ Liber Abacci” isimli kitabıyla girmiştir Bu kitapta Fibonacci, kendinden 400 yıl önce Harazmi’nin yaptığı gibi, bu rakamlarla sayıların nasıl yazılacağını, dört işlemin nasıl yapılacağını izah etmektedir Bu rakamlar batıda günlük hayatta 16 asra kadar çok yaygın olarak kullanılmamış, zaman –zaman da yasaklanmıştır Bu rakamların halk arsında yaygın olarak kullanılması Fransız devriminden sonra olmuştur 1200 lerden 1500 lere kadar kayda değer özgün bir çalışma yoktur 1500-1600 arası iki önemli çalışma a) Tartaglia’nın (1499-1557) bulduğu ama Cardano’nun (1501-1576) aşırarak yayımladığı üçüncü dereceden polinomların cebirsel olarak köklerinin bulunmasıdır Kompleks sayılar ilk olarak 3 derecede polinomların kökünü veren formülde, o tarihlerde anlaşılmamış olsa da, ortaya çıkmıştır Daha sonra Bombelli (1526-1572) cebir kitabında bazı tip kompleks sayılara yer verecek, onlarla nasıl işlem yapılacağını anlatacaktır b) Diğer önemli çalışma ise, F De Viete (1540-1603) in cebir kitabıdır İlk olarak bu kitapta, cebir, sözel olmaktan çıkıp, sembolleşmeye başlamıştır Viete’in kitabında sessiz harfler bilinen kantiteler, sesliler de bilinmeyenler için kullanılmıştır Sabitler için a,b gibi alfabenin ilk harflerinin; bilinmeyenler için de x,y gibi alfabenin son harflerinin kullanılması Descartes’le başlayacaktır

1600-1700 arası matematikte önemli gelişmelerin olduğu yıllardır Bu asrın üç önemli gelişmesi şunlardır: a) Türevin bulunması P Fermat’nın (1601-1665), 1636 da, bir eğrinin maksimum, minimum ve tanjantını bulmak için verdiği çabalar, Ş Al-Tusi’den 5 asır sonra, onu da türevin keşfine götürmüştür Artık matematik dünyası, yavaş da olsa, bunu anlayacak kadar olgundur b) Analitik geometrinin ve kartezyen koordinat sistemini ortaya çıkması R Descartes’ın (1596-1650) geometriyi cebirleştirme çabaları ve bir eğriyi bir reper sisteminde çizme isteği analitik geometrinin doğmasına ve, bugün Descartes ‘a ithafen adlandırılan, “cartesien” koordinat sisteminin ortaya çıkmasına yol açacaktır Ve c) türev ile entegral arasındaki, bugün “Kalkülüsün Temel Teoremi” dediğimiz, ilişkinin Newton (1643-1727) ve Leibniz (1646-1716) tarafından, birbirinden bağımsız olarak, bulunmasıdır Böylelikle “ Integral Calculus” doğacaktır Bu da, o güne kadar kullanım alanı oldukça sınırlı olan matematiğin önünü açacak ve matematiği evrensel bir bilim konumuna getirecektir Ayrıca, kalkülüsle beraber bilimsel fizik ve mühendislik bilimleri de doğacaktır Türevden önce, differensiel denklem, dolaysıyla bilimsel fizik yoktu Bir differensiyel denklem, fiziki bir olayın metematiki ifadesindir Bu çalışmalar ve astronomideki gelişmeler matematiği başka bir düzeye, yeni bir döneme taşıyacaktır

4- Dördüncü Dönem, 1700- 1900 yılları arasını kapsayan ve matematiğin altın çağı olarak bilinen, klasik matematik dönemidir 18 asırda matematiğe en önemli katkıları yapan bilim adamlarının başında Euler, Laplace, Lagrange ve D’Alembert’i sayabiliriz Leonhard Euler (1707-1783) İsviç’rede, Basel de doğmuş, meslek hayatının tamamı Petersbourg ve Berlin’de geçmiştir Tarihin en üretken bilim adamıdır Kalkülüsün ortaya çıkardığı olanakları sayılar teorisinden, differensiyel denklemlere; differensiyel denklemlerden, mühendislik problemlerine uygulayan Euler 30000 sayfadan fazla bilimsel eser üretmiştir Öldükten 50 sene sonra dahi, birikmiş makalelerinin yayını sürmüştür Euler’le matematik evrensel boyutlara erişmiştir Bugün bile matematikçilerin yaptığı işlerin bir çoğunun temel fikri veya başlangıcı Euler’in çalışmalarıdır Euler’le Analiz yeni bir bilim dalı olarak temeyyüz etmiştir; bu dalın büyük babaları Eudoxus ve Arşimed ise, babası Euler’dir Laplace (1749-1827) Fransa’da, Normandia’ da doğmuştur Gök ve yer mekaniği hakkında yazdığı 11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda mekanik hakkında yazılmış en kapsamlı eserlerinden biridir “Theorie Analytique des Probabilites” başlıklı kitabı olasılık teorisinin ilk önemli eseridir Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) İtalya’da Turin’da doğmuş, meslek hayatının büyük bölümünü Berlin ve Paris’te geçirmiştir İtalya’da doğmasına rağmen Fransız matematikçisi olarak bilinir Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirliği, mekanik, differensiyel denklemler ve varyasyon hesabına önemli katkılar yapmış, fikirleri ve yöntemleri bugün de kullanılan bir bilim adamıdır Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) Paris’te doğmuş, Fransa’da yaşamıştır D’Alembert kısmi differensiyel denklemleri ilk inceleyen bilim adamlarından biridir Kısmi differensiyel denklemler ve akışkanlar mekaniği ilgili çalışmaları ve felsefi yazıları dışında, Diderot ile beraber editörlüğünü yaptığı ünlü 28 ciltlik “Encyclopedie” nin matematik maddelerinin hemen -hemen tümünü D’Alembert yazmıştır Bu eser aydınlamanın temel eserlerinden biridir

Bu yüzyılın matematiği çeşitli, kapsamlı ve fikir yönünden zengindir En önemli zaafları, kesinlik (rigor) eksikliği; yapılan işlerin, günümüzün standartlarına göre, yarım-yamalak, kusurlu ve eksik oluşudur Matematiğin o zamanda erişmiş olduğu düzeyde başka türlü olabilir miydi, bilmiyorum

1800-1900 Arası 19 asır çok sayıda, matematiğe önemli katkıları olmuş, bilim adamın yaşadığı bir asırdır Bunların her birini teker -teker ele alıp, onların neler yaptığını anlatmak, bu konuşma çerçevesinde mümkün değildir; ayrıca, buna bilgim de yetmez Bunun yerine, bu asırda matematik nereden nereye geldi sorusuna cevap vermeye çalışacağım 1800 lerin başında matematik derin bir kriz içindeydi Bunun nedeni, Fermat (1636) dan beri türevin tanımında, ve türevin işe karıştığı bir çok yerde, sonsuz küçük (infinitesimal) kavramının kullanılması ve matematikçilerin bunu çok tutarsız bir şekilde kullanmalarıydı Bu tarihlerde henüz limit kavramının olmadığını ve türevin limit vasıtasıyla değil, “sonsuz küçük” kavramı kullanılarak tanımlandığını burada belirtmem gerekir Bu tutarsızlık çok eleştirilmiş, özellikle de düşünür-din adamı G Berkley (1685-1753) nin matematikçilerin tutarsızlığını ortaya koyduğu 40 sayfalık bir eleştiri kitabı derin etki yapmış, bir çok matematikçinin meslek değiştirmesine ve matematiğe karşı tavır almalarına neden olmuştur 1800 başında, fonksiyon kavramının, son yüz yıldır kullanıla gelmesine karşın, henüz doğru-dölek tanımlanmamış olması ve matematikçilerin fonksiyonu aynı şekilde anlamamaları da başka bir anlaşmazlığın ve karmaşanın nedeniydi 1800 lerin başında süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakınsaklığı doğru-dölek anlaşılmamıştı; henüz düzgün süreklilik ve düzgün yakınsaklık kavramları ortada yoktu Entegral kavramı türev kavramının tersi olarak görülüyordu; türevden bağımsız bir entegral ve entegrallenebilirlik kavramı yoktu 1800 lerin başında, bugün matematiğin en önemli teorilerinden biri olan, kompleks fonksiyonlar teorisi henüz yoktu Antik Yunan çağından kalma ve çok uğraşılan beş sorudan (Bunların ilk dördü, geometrik çizim yaparak, 1) bir açıyı üç eşit parçaya bölmek 2) Alanı verilen bir dairenin alanına eşit alanı olan bir kare bulmak 3) Hacmi verilen bir küpün hacminin iki katına eşit hacmi olan bir küp bulmak; ve 4) bir dairenin içine, p sayısı asal olmak kaydı ile, hangi p ler için düzgün p-genler çizilebileceğini bulmak idi 5 Soru, Öklid geometrisinin beşinci postulatı olan, “bir doğruya onun dışından bir ve yalnız bir paralel çizilebilir “ postulatının diğer dördünün sonucu olarak elde edilip-edilemeyeceği idi) hiç biri, 4 cü soru dışında ki o da Gauss tarafından daha yeni çözülmüştü, çözülememişti Cebirde, 5 ci dereceden polinomların köklerinin cebirsel ( köklü ifadelerle) çözülüp-çözülemeyeceği henüz bilinmiyordu Cebir’in grup, halka, cisim, vektör uzayı gibi hiçbir yapısı henüz ortaya çıkmamıştı Matris ve vectör kavramları henüz yoktu ( 2 li ve 3 lü determinantlar 1680 lerden beri biliniyor) Matematiksel fiziğin ana teoremleri henüz ortada yoktu; differensiyel geometri, topoloji gibi konular henüz doğmamıştı 1800 lerin başında matematiğin durumu kısaca bu idi 1820 lerde, A Cauchy (1789-1855) limit kavramını, bugünkü kullandığımız şekliyle, tanımlayıp, türevi, sürekliliği ve, sürekli fonksiyonlar için, entegrali, limit kavramı yardımıyla tanımlaması, analizi, sonsuz küçük kavramından kaynaklanan krizden kurtarmış ve daha sağlam temeller üzerine oturtulmasını sağlamıştır Cauchy’nin çalışmaları sonucu, kompleks fonksiyonlar teorisi doğmuş ve, Cauchy, B Riemann (1820-1866) ve K Weierstrass (1815-1884) gibi asrın büyük matematikçilerinin çalışmalarıyla, matematiğin en temel teorilerinden birine dönüşmüştür G Dirichlet’nin (1805-1859) 1830 larda fonksiyon kavramını bugün anladığımız manada tanımlaması matematiği başka bir kargaşadan kurtarmıştır Bu da özellikle Fourier serileri hakkında tartışmaları sona erdirecek, Fourier serileri ile ilgili çalışmaları tekrar başlatacaktır Fourier serileri Analizin gelişmesinde en önemli rolü oynayan, bir bakıma modern matematiğin doğuşuna neden olan, gerek uygulamaları ve gerekse de matematikteki merkezi konumu açısından, matematiğin en önemli konularından biridir Weierstrass ve öğrencilerinin çalışmaları sayesinde, 1850 lerden sonra, düzgün süreklilik, düzgün yakınsaklık gibi analizin vazgeçilmez kavramları ortaya çıkacak, fonksiyon serilerinin yakınsaklığı daha iyi anlaşılacaktır F Gauss’un (1777-1855) “ Cebir’in Temel Teoremi, ya da D’Alembert Teoremi” olarak bilinen teoremi ispatlaması bu asrın başka bir önemli olayıdır Bu teorem bugün cisimler teorisinden spektral analize kadar bir çok teorinin temelinde olan bir teoremdir Bütün zamanların en derin, en büyük bilim adamlarından biri olarak kabul edilen Gauss’un, sayılar teorisi, differensiel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katkıları bu asrın en önemli çalışmaları arasındadır Bu asrın ve bütün zamanların en önemli matematikçilerinden biri olan Riemann kısa yaşamında, daha sonra her biri büyük bir teori olacak bir düzine konuyu başlatmış ya da onlara derin katkılar yapmış, matematiğe kavramsal bir bakış ve yaklaşım getirmiştir Bunlardan bir kaçı:Riemann entegrali ve entegrallenebilirlik kavramı, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, differensiyel geometri, sayılar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri, matematiksel fizik ve, daha sonraları topoloji ismini alacak olan, analysis situs tür Yine bu asırda, yukarıda sözü edilen, antik Yunan çağından kalma 5 sorunun beşi de çözülmüştür 1 ve 3 soruların mümkün olmadığı bir Fransız matematikçisi olan Wentzel tarafından 1837 de ispatlandı 2 sorunun mümkün olmadığı, Lindemann’ın 1882 de pi sayısının tranzantal bir sayı olduğunun ispatından sonra anlaşıldı 4 soru, yukarıda da söylendiği gibi Gauss tarafından 1796 da (p=17) için ve 1801 de de diğer p ler için tam olarak çözüldü Cevap şudur: p bir asal sayı olsun Verilen bir dairenin içine bir düzgün p-genin çizilebilmesi için gerek ve yeter koşul p nin p=2^n+1 ve n=2^k şeklinde olmasıdır ( k=0 için, p=3 dür; k=1 için p=5, ve k=2 için p=17 dir) Bir dairenin içine düzgün bir beşgenin çizilebileceğini Öklid biliyordu; 7-gen çizilemeyeceğini Arşimed biliyordu Arşimed’den 1800 yılları arasında geçen 2000 yılda bu soruda hiçbir ilerleme sağlanmamıştı; bu sorunun çözümü için Gauss’un dehası gerekiyordu Öklid’ in 5 postulatına gelince, bu sorunun çözümü için insanların, “mantıki tutarlılık” ile “fiziki olurluluğun” aynı şey olmadığını anlamaları gerekiyordu 5 postalatın yerine onun zıtları olan postulatlar koyarak, Öklid geometrisi kadar tutarlı, iki yeni geometri oluşturulabileceği Lobachevki (1792-1856), Bolyai (1802-1860), ve Riemann tarafından gösterildi Cebir cephesine gelince, genç yaşta bu dünyadan ayrılan iki matematikçi, H Abel (1802-1829) ve E Galois (1811-1832) nın 5 dereceden polinomların cebirsel yöntemlerle köklerinin bulunup-bulunamayacağı konusunda çalışmaları sonucu grup teorisi doğdu Kummer (1810-1893) ve öğrencilerinin Fermat’nın büyük teoremiyle ispatlamak için verdikleri uğraşı sonucu halka teorisi ve idealler teorisi; R Dedekind (1831-1916) gerçel sayıların soyut bir tanımını vermek için yaptığı çalışmalar sonucu, cisim teorisi; Cayley (1821-1895 ) ve Sylvesterin (1814-1897 ) çok sayıda doğrusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek için yaptıkları çalışmalar sonucu matris cebiri; ve Grassman (1809-1877 ) nın üç boyuttan çok boyuta geçme çabaları sonucunda da vectör uzayları doğdu Bu kavramlar matematiğe “ stuructualist” yaklaşımı ve bakış açısını getirecektir

Bu dönemi, 1700-1900 arasını, matematikte büyük ilerlemelerin olduğu, çok sayıda yeni teorinin doğduğu, yapısal değişikliklerin olduğu, ispatlarda kesinliğin ön plana çıktığı, kavramsal bakış açısının hesapsal yaklaşımın önüne geçtiği bir dönem, matematiğin altın çağı, olarak özetleyebiliriz

Altın çağ bir krizle kapandı Bu kriz yeni bir çağın doğum sancılarıydı Bu çağ modern matematik çağıdır Bundan sonraki kısımda, bu krizin nedenleri ne idi; modern matematik nedir, nasıl doğdu, ne yönde gelişti; bunları anlatmaya çalışacağım

5-Kümeler teorisinin, dolaysıyla, modern matematiğin, babası Georg Cantor (1845-1918) dır G Cantor Berlin üniversitesinde, Kummer’in ögrencisi olarak sayılar teorisinde tezini bitirdikten sonra, 1869 dan itibaren meslek hayatının sonuna kadar çalışacağı Halle üniversitesinde işe başlamıştır Halle üniversitesinde çalışmaya başladığı yıllarda, o üniversitenin hocalarından, E Heine’nın Cantor’a sorduğu bir soru Cantor’un yaşamını, matematiğin de seyrini değiştirecekti Bu soru şu idi: Bir periodluk bir aralıkta, toplamı sıfır olan bir trigonometrik serinin katsayılarının hepsi sıfır mıdır? Cantor bu soruyla uğraşırken gerçel sayıların o güne kadar fark edilmeyen bir özelliğinin farkına varır Bu da rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların aynı çoklukta olmadığıdır Başka bir ifadeyle, rasyonel sayıların kümesiyle irrasyonel sayıların kümesi arasında, her iki kümenin de sonsuz olmasına karşın, bire-bir bir dönüşüm yoktur O halde bu iki kümenin sonsuzlukları aynı değildir Böylelikle ortaya küme kavramı ve kümelerin, içerdikleri eleman çokluğu açısından, sınıflandırılması sorunu çıktı Bu son kavram “sonsuzun” tek değil, çok olduğunu söylemektedir; bu da çok tepki çekecekti Tarih boyunca, Elea’ lı Zeno’dan başlayarak, günümüze kadar, “sonsuz” insanları rahatsız etmiştir Aristo’dan Cantor’a kadar geçen zaman diliminde “sonsuz” anlayışı, temelde Aristo’nun görüşü olan, şu anlayıştır: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuşma kolaylığı sağladığı için kullandığımız bir kavramdır Bu kavramı “sınırsızlık” kavramı yerine kullanırız; bir şey, çoğalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyeceğimiz bir çokluğun ya da büyüklüğün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o şeye sonsuza gidiyor deriz Başka bir deyimle, Aristo’nun sonsuz anlayışı “potansiyel sonsuz” anlayışıdır Cantor’a göre ise “sonsuz” tek başına manalı bir söz değildir; manalı olan “sonsuz küme” kavramıdır; sonsuz kümeler ise var olan nesnelerdir Burada “sonsuz küme” deyimi, büyükanne gibi, bölünmez bir terim olarak anlaşılmalıdır O halde önce kümeler sonlu-sonsuz diye ikiye ayrılacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi aralarında, sonsuzluklarına göre, çeşitli sınıflara ayrılacaktır Böylelikle ortaya sayısız “sonsuz küme” sınıfları çıkacaktır Bu da çok çeşitli “sonsuzluğun “ olduğu manasına gelmektedir Cantor’un bu sonsuz anlayışı, Kronecker ve Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafından tepki ile karşılandı Bunun sonucu olarak ta, matematikçiler, “sonsuzu” Cantor gibi anlayanlar ve Aristo gibi anlayanlar olmak üzere, iki guruba ayrıldılar Küme kavramının, aksiyomatik olarak tanımlanmaksızın, Cantor’un yaptığı gibi, sözlük manasında kullanılması, kümeler teorisini de çıkmaza soktu; “bütün kümelerin kümesi bir küme midir” gibi yeni paradoksları ortaya çıkardı Bu da matematikçileri, kümeler teorisinden vazgeçilip-vazgeçilmemesi konusunda, ikinci bir kez böldü Üçüncü bir sorun da, bir matematiksel ispatın ne olduğu, geçerliliği, meşruluğu sorunuydu Matematikte deney ya da gözlem olmadığı için, tartışma konusu olan bir ispat, teori veya teorem hakkında son sözü deneye, ya da gözleme bırakma olanağı yoktur Bir matematikçi “ öyle bir x vardır ki” dediği zaman var olduğunu iddia ettiği şeyi somut olarak ortaya koymak, en azından nasıl inşa edilebileceğini göstermek zorunda mıdır; yoksa, bir din adamının dini ilkelere dayanarak şeytanın varlığını ispatladığı gibi, bir matematikçinin de, aradığı şeyin nasıl elde edileceğini göstermeksizin, o şeyin var olduğunu, bir takım ilkelere dayanarak, ispatlaması yeterli midir? Bu üç sorunla ilgili farklı görüş ve anlayışlar matematikçileri derin tartışmalara, çeşitli ekollere bölünmelere; matematiği de bir krize itti Bu “ Matematiğin Temelleri Krizi” denen krizdir Matematiğin artık eskisi gibi kendi gelenek-göreneklerine göre yapılamayacağını anlayan matematikçiler, bu krizden çıkmak için matematiğin bir “anayasal” temele oturtulması gerektiğini anlayarak, küme kavramını aksiyomatik olarak tanımlayıp, matematiği aksiyomatik kümeler temeli üzerine inşaa etmeye çalıştılar; gerektiğinde kümeler teorisinin aksiyomlarına “seçim aksiyomu” gibi aksiyomlar da ilave edilecektir Böylelikle “modern matematik” doğdu Kısa bir tanım vermek gerekirse, “modern matematik” klasik matematiğin anayasal bir tabana oturtulmuş şeklidir, diye tanımlayabiliriz Artık bu yasal çerçevede neyin meşru, neyin meşru olmadığı tartışılabilecektir Bundan sonra matematiğin, aritmetik, geometri, gibi çeşitli kısımlarının aksiyomatik bir temele oturtulma girişimleri başladı D Hilbert’in (1862-1943) rüyası, matematiğin bütününü, hiç olmazsa, aritmetik, geometri gibi her bölümünü öyle aksiyomatik bir temele oturtmaktı ki, o bölümün her önermesi, o bölümün aksiyomlarından hareketle, olumlu ya da olumsuz bir yönde, karara bağlanabilsin idi 20 asır matematiğinin en önemli teoremi; derinlik ve önem açısından, Einstein’nın görecelik ve Heisenberg’in belirsizlik ilkeleriyle aynı düzeyde olduğu kabul edilen, K Gödel (1906-1978) in “eksiklik” (Gödel’s Incompleteness Theorem; burada yorumlandığı manada, “kararsızlık” teoremi demek daha doğru olur kanısındayım) teoremi Hilbert’in bu rüyasının bir rüya olarak kalmaya mahkum olduğunu gösterdi Bu teoremi somut bir örnek üzerinde izah edemeye çalışacağım Matematiğin bütününü dünya ülkeleri; aritmetik gibi bir kısmını da Türkiye gibi bir ülke olarak düşünelim Gayemiz Türkiye’ ye bir anayasa yapmaktır Bu anayasanın şu üç temel ilkeye uygun olmasını beklemekteyiz Bunlar a) Tutarlılık İlkesi: Anayasanın bir maddesi geri kalanlarıyla çelişmemeli b) Bağımsızlık İlkesi: Anayasanın her maddesi geri kalan maddelerden bağımsız olmalı, onların sonucu olarak elde edilememeli c) Tamlık İlkesi: Anayasa, meclisten geçen her yasanın, anayasanın hükmü altına girecek kadar kapsamlı, tam olmalı; dolaysıyla anayasa mahkemesine götürülen her hangi bir yasa hakkında anayasa mahkemesi “görevsizlik kararı” verememeli Bu ilkelerin dışında, meclisin çıkaracağı yasa sayısında da her hangi bir sınırlama olmadığını kabul ediyoruz Bu ilkeler biz ölümlülerce makul ve her anayasın sağlaması gereken ilkeler olarak görülebilir Gödel hiç de böyle düşünmüyor; Gödel’e göre, bu ilkeleri sağlayan bir anayasa yapmak mümkün değildir Yapacağımız anayasalar ya tutarsız; ya da tam olmayacaklardır Başka bir ifadeyle, ilk iki ilkeye uyan hangi anayasayı kabul edersek edelim, meclise öyle bir yasa önerisi verebilirim ki, bu öneri yasalaştığı ve muhalefet de onu anayasa mahkemesine götürdüğü zaman, anayasa mahkemesi bu yasanın anayasaya uygun olduğunu da söyleyemez, uygun olmadığını da söyleyemez Bu da yaptığımız anayasanın tam olmadığını manasına gelmektedir Burada anayasa mahkemesinin “ülke çıkarı” ya da başka siyasi mülahazaları göz önüne almadan, önüne getirilen yasa maddesini salt mantık açısından yargıladığını kabul ediyoruz Matematiğe dönecek olursak, Gödel’in teoremi, matematiğin aritmetik gibi bir bölümünü nasıl bir aksiyom sistemi üzerine oturtursak oturtalım, aksiyom sistemimizin tutarlı olması koşuluyla, tamlık ilkesini sağlayacak şekilde o bölümü aksiyomatikleştirmemiz mümkün değildir, diyor Başka bir ifade ile, aksiyomlarımızın dışına çıkmadan, aksiyomlarımız tutarlı iseler, doğruluğunu da, yanlışlığını da ispatlayamayacağımız bir önerme üretmek her zaman mümkündür Buradaki temel sorun “doğru” ile “ispatlanabilir” kavramlarının eşdeğer kavramlar olmamasıdır Klasik mantığın temel ilkelerinden biri şöyle der: Bir önerme ya doğrudur ya da yanlış; aynı zamanda doğru ve yanlış, ya da başka bir şey olamaz Gödel’den önce, verilen her önermenin, bu gün beceremesek bile, eninde-sonunda doğruluğunun ya da yanlışlığının ispatlanacağı yönünde derin bir inanç vardı Gödel’in teoremi bu inancı yıktı Gödel’in bu teoremi çeşitli şekillerde yorumlandı Bu yorumlardan biri: Hiç bir makine hiç bir zaman insan aklının yerini alamayacaktır; insan her zaman beklenmedik ve öngörülmedik bir düşünce, bir soru üretebilir; makine ise (uyması gereken “aksiyomlar” gereği) sadece beklenen ve öngörüleni üretir

20 asırda da, 19 asırda olduğu gibi, çok sayıda yeni teoriler ortaya çıktı Bunlardan bir kaçı: Metrik uzaylar (1902), topoljik uzaylar (1914), fonksiyonel analiz (1924), Banach cebirleri (1940), distribüsyon teorisi (1950), operatörler teorisi (1930), Felaket (Catastrophe) teorisi (1950)Bunların detayına girmem mümkün değil Bu asrın matematiğinin temel özellikleri: Hiçbir asırda olmadığı kadar soyut olması; kavramsal ve yapısal olmasıdır Matematikte çalışan insan sayısı ve yapılan üretim hiçbir asırda 20 asırdaki kadar yüksek olmamıştır Üretimin çokluğu, çeşitliliği, kullanılan dilin konuya öze oluşu, matematiğin bütünü hakkında bir bilgi sahip olmayı imkansız kılmaktadır Başlarken söylediğim bir sözle, bugünkü matematik hakkında bilgimiz, körün dokunduğu fil hakkındaki bilgisinden daha fazla değildir Benim ki hiç değildicre Bölünmesi