Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?

2x+3=5+x
Bu bir denklemdir

Bir bilinmeyenlidir

Aynı olan türleri bir tarafta toplarsanız sonuca ulaşırsınız

2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti

x=2

x+2y =2
2x-2y=4
Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir

Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur

Fakat her hangi birisinden x veya y'nin değerini bulup diğer kullanmadığınız denklemde yerine yazarsanız yine sonuca ulaşırsınız
x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler

3x=6
x=2

Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır Araya (=) işareti konularak ifade edilir

Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır

Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir

(x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir

x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır

Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur

Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir

Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir

Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir

Eğri denklemiEğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir

İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir: y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1 birer eğri denklemidir

Cebirsel denklemTerimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir

Denklem sistemiOrtak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu

Lineer denklemDeğişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem

Mesela: 3x + y = 5, 8x + 9 =3 gibi

Logaritmik denklemBilinmeyenlerin logaritmiktrigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir

(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş

Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır

Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir

Aşkın Sayılar)

fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir

log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi

Transandant denklemCebirsel olmayan denklemlerdir

Logaritmik, üstel, Denklemler teorisi
f(x) = anxn + an-1xn-1 +

+ a1x + a0 = 0 çok terimli denklemleriyle ilgilenir

Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir

Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir

Kök sayısıBir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır

Katlı kökEğer: f(x)=(x-a)k·g(x) yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür

Mesela: x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0 denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür

Karmaşık kökEğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür

Gerçel kökün yeriEğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır

Mesela f(x) = x5 - x - 1 = 0 da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır

İkinci derece denklemx² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur

Bu kökler

gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir

Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar

Negatif ise gerçek kök yoktur

Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824)

Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı

Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu

2

derece denklemler
ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir

Bu çeşit denklemlerin 2 adet kökü bulunur

Bu denklemlerin bazıları çarpanlara ayrılarak yapılır

Örneğinx2 − 7x + 12 = 0 denklemi (x-4)(x-3)=0 şeklinde açılabilir

Çözüm kümesi de Ç={4,3}'tür

Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz

Bunların çözüm kümesini bulmak için diskriminant formülü vardır

Bu formül kökü reel olmayan denklemler için de geçerlidir

09-11-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? 2x+3=5+x Bu bir denklemdir Bir bilinmeyenlidir Aynı olan türleri bir tarafta toplarsanız sonuca ulaşırsınız 2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti x=2 x+2y =2 2x-2y=4 Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur Fakat her hangi birisinden x veya y'nin değerini bulup diğer kullanmadığınız denklemde yerine yazarsanız yine sonuca ulaşırsınız x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler 3x=6 x=2 Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır Araya (=) işareti konularak ifade edilir Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir (x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir Eğri denklemiEğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir: y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1 birer eğri denklemidir Cebirsel denklemTerimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir Denklem sistemiOrtak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu Lineer denklemDeğişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem Mesela: 3x + y = 5, 8x + 9 =3 gibi Logaritmik denklemBilinmeyenlerin logaritmiktrigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir Aşkın Sayılar) fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi Transandant denklemCebirsel olmayan denklemlerdir Logaritmik, üstel, Denklemler teorisi f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 çok terimli denklemleriyle ilgilenir Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir Kök sayısıBir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır Katlı kökEğer: f(x)=(x-a)k·g(x) yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür Mesela: x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0 denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür Karmaşık kökEğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür Gerçel kökün yeriEğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır Mesela f(x) = x5 - x - 1 = 0 da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır İkinci derece denklemx² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur Bu kökler gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar Negatif ise gerçek kök yoktur Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824) Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu 2 derece denklemler ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir Bu çeşit denklemlerin 2 adet kökü bulunur Bu denklemlerin bazıları çarpanlara ayrılarak yapılır Örneğinx2 − 7x + 12 = 0 denklemi (x-4)(x-3)=0 şeklinde açılabilir Çözüm kümesi de Ç={4,3}'tür Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz Bunların çözüm kümesini bulmak için diskriminant formülü vardır Bu formül kökü reel olmayan denklemler için de geçerlidir