Pascal Üçgeni İle Kombinasyon Arasında Nasıl Bir İlişki Vardır? Pascal Üçgeni

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım

Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0

1
s(A)=1

1

1
s(A)=2

1

2

1
s(A)=3

1

3

1
s(A)=4

1

4

6

4

1
s(A)=5

1

5

10

5

1

Üçgenin tepesinde 1 yazdık

Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık

Bir satırda ardışık iki sayının topl****** bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık

Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik

Örneğin; s(A)=4

1

4

6

4

1
s(A)=5

1

5

10

5

1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim

A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım

0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz

O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,

alt kümelerinin sayısını gösterir

Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim

*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır

(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı

10

(s(A)=5’in satırında 4

sayı)
4 elemanlı

5

(s(A)=5’in satırında 5

sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1

YOL: (21+35+21+7+1)=120
2

YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur

a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır

(a+b)5=?
Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

*(5x-3y)2=?
Katsayılar 1 2 1
5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -2

5x

3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

II KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur

Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:

Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı

b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan

 tane üçgen çizilebilir
Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çokfarklı noktada kesişirler
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan
tane paralelkenar oluşur

Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır
III BİNOM AÇILIMI
A TANIM
n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir
Burada;

sayılarına binomun katsayıları denir

ifadelerinin her birine terim denir
ifadesinde katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir
B (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir
3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1) terim :
sondan (r + 1) terim :
(x – y)n ifadesinin açılımında 1 terimin işareti (+), 2 terimin işareti (–), 3 terimin işareti (+) dır
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir
Ü n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim

Ü n Î IN+ olmak üzere,
(xm + )n açılımındaki sabit terim,
ifadesinde m (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur
Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için
x = 0 ve y = 0 yazılır

Ü (a + b + c)n nin açılımında
ak br cm li terimin katsayısı;

09-11-2012	#2
Prof. Dr. Sinsi	Pascal Üçgeni İle Kombinasyon Arasında Nasıl Bir İlişki Vardır? Pascal Üçgeni Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım Kümenin Eleman Sayısı: s(A)=0 1 s(A)=1 11 s(A)=2 121 s(A)=3 1331 s(A)=41 4641 s(A)=51 5101051 Üçgenin tepesinde 1 yazdıkSonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldıkBir satırda ardışık iki sayının topl****** bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdıkBu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik Örneğin; s(A)=4 14641 s(A)=515101051 Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım 0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane 1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane 2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane 3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüzO halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,alt kümelerinin sayısını gösterir Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim 6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır(s(A)=6‘nın satırındaki üçüncü sayı) 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım: 3 elemanlı10(s(A)=5’in satırında 4 sayı) 4 elemanlı5(s(A)=5’in satırında 5 sayı) 7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım: 1YOL: (21+35+21+7+1)=120 2YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?) Binom Açılımı: (a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olura’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır (a+b)5=? Katsayılar 1 5 10 10 5 1 A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1 B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6 (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (5x-3y)2=? Katsayılar 1 2 1 5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1 -3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2 (5x-3y)2= 25x2 -25x3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2 II KOMBİNASYON TANIM r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı: <b> </b>Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla; a) Çizilebilecek doğru sayısı <b> </b>b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan <b> </b> tane üçgen çizilebilir Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çokfarklı noktada kesişirler Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır III BİNOM AÇILIMI A TANIM n Î IN olmak üzere, ifadesine binom açılımı denir Burada; sayılarına binomun katsayıları denir ifadelerinin her birine terim denir ifadesinde katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir B (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ 1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır 2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir 3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir 4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde; baştan (r + 1) terim : sondan (r + 1) terim : (x – y)n ifadesinin açılımında 1 terimin işareti (+), 2 terimin işareti (–), 3 terimin işareti (+) dır Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir Ü n Î N+ olmak üzere, (x + y)2n nin açılımında ortanca terim Ü n Î IN+ olmak üzere, (xm + )n açılımındaki sabit terim, ifadesinde m (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır Ü (a + b + c)n nin açılımında ak br cm li terimin katsayısı;