Açının Tanımı Nedir? Açının Ne Demektir? Açı Neye Denir? Açının Açılımı Nedir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

Açının Tanımı Nedir? Açının Ne Demektir? Açı Neye Denir? Açının Açılımı Nedir?
Açının Tanımı Nedir? Açının Ne Demektir? Açı Neye Denir? Açının Açılımı Nedir?

Açı
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Açı işareti

Açı, başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine denir

Işınların kesiştiği noktaya "açının köşesi", ışınlara ise "açının kenarı" denir

Açıların birçok çeşidi vardır: Geniş açı, dar açı, dik açı, tam açı, doğru açı, tümler açı, bütünler açı, pozitif açı, negatif açı, merkez açı, çevre açı gibi

* Geniş açı: 90°'den 180°'ye kadar
* Dar açı: 0°'den 90°'ye kadar
* Dik açı: tam 90°
* Tam açı: 360°
* Doğru açı: 180°

Açı kelimesi, pekçok geometri terimi gibi, okul kitabı olarak okutulmak üzere yazılan bir geometri kitabında, Atatürk tarafından Türkçeye kazandırılmıştır

Düzlemde açı, bir doğru parçasının sabit bir nokta çevresinde dönme miktarının ölçüsüdür

Saat ibrenin ters yönü "pozitif", düz yönü "negatif" kabul edilir

Babilliler, bir tam dönüşü 60 birime bölmüşlerdir (altmışlık sistem)

* 1 devir = 360 derece ( 360° )
* 1 derece = 60 dakika ( 60' )
* 1 dakika = 60 saniye ( 60" )

Yani yukarıda listelenen birim dönüşüm eşitliklerini kullanarak 1 derecenin 60x60 = 3600 saniye (3600") olduğu sonucuna kolaylıkla ulaşılabilir

Yatay ve düşey doğrultular arasındaki açı 90°'dir ve "dik açı" diye tanımlanır

Genel olarak yüksek matematikte kullanılan birim radyan dır

(1 devir = 2π radyan)

Başlangıç noktaları ortak olan ve ortak bir kapalı eğriden geçen iki ışın arasında kalan açıya "merkez açı" denir

Açılar
Bir açı ölçüsü θ amacıyla, örneğin pergel ile çizilmiş bir açının tepe noktasında bir dairesel yay ortalanır

Yayın uzunluğu s'den dairenin yarıçapı r bölünmüş ve muhtemelen sabit k ile çoğaltılmıştır

Radyan için

Şekilde [AC ve [AB ışınının oluşturduğu açı BAC açısıdır

[AB È [AC = BAC açısıdır

BAC, CAB olarak veya A ilegösterilir

[AB ve [AC ışınları açının kenarları, A noktası açının köşesidir

Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır

Açının Ölçüsü
[AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsüdenir

BAC açısının ölçüsü a'dır

m(BAC) = a veya m[A] = a olarak gösterilir

Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır:

a

Açının kendisi: [AB ve [AC ışınları

b

İç bölge (taralı alan)
c

Dış bölge

Açı Ölçü Birimleri
Açı ölçüsü birimi olarak genelde derece kullanılır

Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de kullanılır

Açı ölçüsü birimleri arasında,

360° = 400 G (grad) = 2p (radyan)

eşitliği vardır

Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir

Derecenin alt birimleri,

* 1° = 60' (dakika)
* 1' = 60" (saniye)
* 1° = 3600" dir

* 90° = 89° 59' 60"

ve

* 180° = 179° 59' 60"

olur

Ölçülerine Göre Açılar
a

Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir

b

Ölçüsü 90° olanaçılara dik açı denir

c

Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir

d

Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir

e

Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir

Komşu Açılar
Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan açılara komşu açılar denir

CAD ile DAB komşu açılardır

Tümler Açı
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir

m(CAD)+m(DAB)=90°
a+b=90°

a açısının tümlerinin ölçüsü (90° - a)'dır

Komşu tümler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir

[OA] ^ [OB]
m(KOL) = 45°

Bütünler Açı
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir

m(DAB)+m(CAD)=180°
x+y=180°

x açısının bütünlerinin ölçüsü (180° - x)'dir

Komşu bütünler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir

m(KOL) = 90°

Ters Açılar
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir

Ters açıların ölçüleri eşittir

m(x)=m(z) ve m(t)=m(y)'dir

Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar

a

Yöndeş açılar: Yöndeş açıların ölçüleri eşittir

d1 // d2 ise

m(a) = m(x) ; m(b) = m(y)
m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)

b

İçters açılar: İçters açıların ölçüleri eşittir

d1 // d2 ise

a ile z ve b ile t içters açılarıdır

m(a) = m(z); m(b) = m(t)

c

Dışters açılar: Dışters açıların ölçüleri eşittir

d1 // d2 ise

m(c)=m(x)=m(d)=m(y)

d

Karşı durumlu açılar:

Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir

Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir

Paralel doğrular arasında birden fazla kesenin olduğu durumlarda kesişim noktalarından yeni paraleller çizilir

d1 // d2 ise

m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z) = 180°

e

Birden fazla kesenli durumlar

d1 // d2 ise
B noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel çizersek

m(ABC) = a + b

olur

B noktasından paralel çizersek

m(ABD) + x = 180°
m(DBC) + z = 180°

buradan

x + y + z = 360°'dir

f

Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılar

Bu tür soruları kırılma noktalarından paralellerçizerek de çözebiliriz

d1 // d2 ise a + b + c = x + y olur

g

Kolları paralel ve kolları dik açılar

Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir

Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir

Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;

a + b = 180°

olur

Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri toplamı

a + b = 180°

olur

Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri eşittir

Açıortay (bak

Açıortay)
Açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir

Açıortay üzerinde alınan her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir

[AD, CAB açısının açıortayıdır

09-11-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Açının Tanımı Nedir? Açının Ne Demektir? Açı Neye Denir? Açının Açılımı Nedir? Açının Tanımı Nedir? Açının Ne Demektir? Açı Neye Denir? Açının Açılımı Nedir? Açının Tanımı Nedir? Açının Ne Demektir? Açı Neye Denir? Açının Açılımı Nedir? Açı Vikipedi, özgür ansiklopedi Açı işareti Açı, başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine denir Işınların kesiştiği noktaya "açının köşesi", ışınlara ise "açının kenarı" denir Açıların birçok çeşidi vardır: Geniş açı, dar açı, dik açı, tam açı, doğru açı, tümler açı, bütünler açı, pozitif açı, negatif açı, merkez açı, çevre açı gibi * Geniş açı: 90°'den 180°'ye kadar * Dar açı: 0°'den 90°'ye kadar * Dik açı: tam 90° * Tam açı: 360° * Doğru açı: 180° Açı kelimesi, pekçok geometri terimi gibi, okul kitabı olarak okutulmak üzere yazılan bir geometri kitabında, Atatürk tarafından Türkçeye kazandırılmıştır Düzlemde açı, bir doğru parçasının sabit bir nokta çevresinde dönme miktarının ölçüsüdür Saat ibrenin ters yönü "pozitif", düz yönü "negatif" kabul edilir Babilliler, bir tam dönüşü 60 birime bölmüşlerdir (altmışlık sistem) * 1 devir = 360 derece ( 360° ) * 1 derece = 60 dakika ( 60' ) * 1 dakika = 60 saniye ( 60" ) Yani yukarıda listelenen birim dönüşüm eşitliklerini kullanarak 1 derecenin 60x60 = 3600 saniye (3600") olduğu sonucuna kolaylıkla ulaşılabilir Yatay ve düşey doğrultular arasındaki açı 90°'dir ve "dik açı" diye tanımlanır Genel olarak yüksek matematikte kullanılan birim radyan dır (1 devir = 2π radyan) Başlangıç noktaları ortak olan ve ortak bir kapalı eğriden geçen iki ışın arasında kalan açıya "merkez açı" denir Açılar Bir açı ölçüsü θ amacıyla, örneğin pergel ile çizilmiş bir açının tepe noktasında bir dairesel yay ortalanır Yayın uzunluğu s'den dairenin yarıçapı r bölünmüş ve muhtemelen sabit k ile çoğaltılmıştır Radyan için Şekilde [AC ve [AB ışınının oluşturduğu açı BAC açısıdır [AB È [AC = BAC açısıdır BAC, CAB olarak veya A ilegösterilir [AB ve [AC ışınları açının kenarları, A noktası açının köşesidirAçı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır Açının Ölçüsü [AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsüdenir BAC açısının ölçüsü a'dır m(BAC) = a veya m[A] = a olarak gösterilir Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır: a Açının kendisi: [AB ve [AC ışınları b İç bölge (taralı alan) c Dış bölge Açı Ölçü Birimleri Açı ölçüsü birimi olarak genelde derece kullanılır Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de kullanılır Açı ölçüsü birimleri arasında, 360° = 400 G (grad) = 2p (radyan) eşitliği vardır Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir Derecenin alt birimleri, * 1° = 60' (dakika) * 1' = 60" (saniye) * 1° = 3600" dir * 90° = 89° 59' 60" ve * 180° = 179° 59' 60" olur Ölçülerine Göre Açılar a Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir b Ölçüsü 90° olanaçılara dik açı denir c Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir d Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir e Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir Komşu Açılar Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan açılara komşu açılar denir CAD ile DAB komşu açılardır Tümler Açı Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir m(CAD)+m(DAB)=90° a+b=90° a açısının tümlerinin ölçüsü (90° - a)'dır Komşu tümler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir [OA] ^ [OB] m(KOL) = 45° Bütünler Açı Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir m(DAB)+m(CAD)=180° x+y=180° x açısının bütünlerinin ölçüsü (180° - x)'dir Komşu bütünler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir m(KOL) = 90° Ters Açılar Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir Ters açıların ölçüleri eşittir m(x)=m(z) ve m(t)=m(y)'dir Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar a Yöndeş açılar: Yöndeş açıların ölçüleri eşittir d1 // d2 ise m(a) = m(x) ; m(b) = m(y) m(c) = m(z) ; m(d) = m(t) b İçters açılar: İçters açıların ölçüleri eşittir d1 // d2 ise a ile z ve b ile t içters açılarıdır m(a) = m(z); m(b) = m(t) c Dışters açılar: Dışters açıların ölçüleri eşittir d1 // d2 ise m(c)=m(x)=m(d)=m(y) d Karşı durumlu açılar: Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dirKarşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir Paralel doğrular arasında birden fazla kesenin olduğu durumlarda kesişim noktalarından yeni paraleller çizilir d1 // d2 ise m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z) = 180° e Birden fazla kesenli durumlar d1 // d2 ise B noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel çizersek m(ABC) = a + b olur B noktasından paralel çizersek m(ABD) + x = 180° m(DBC) + z = 180° buradan x + y + z = 360°'dir f Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılar Bu tür soruları kırılma noktalarından paralellerçizerek de çözebiliriz d1 // d2 ise a + b + c = x + y olur g Kolları paralel ve kolları dik açılar Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı; a + b = 180° olur Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri toplamı a + b = 180° olur Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri eşittir Açıortay (bak Açıortay) Açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir Açıortay üzerinde alınan her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir [AD, CAB açısının açıortayıdır