|
Prof. Dr. Sinsi
|
Merkesi Eğilim Ve Yayılma Nedir? Merkezi Eğilim Ve Yayılma Ölçüleri Nelerdir?
Merkesi Eğilim Ve Yayılma Nedir? Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri nelerdir?
Merkesi Eğilim Ve Yayılma Nedir? Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri nelerdir?
MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ
Bir grubun belli bir özelliği yönünden yeterince tanıyabilmek ve gruplar arasında çok yönlü karşılaştırmalar yapabilmek için merkezî eğilim ölçüleri yanında yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur Verilerin birbirlerinden ne kadar ayrıldıkları veya bir doğru üzerinde yayılmalarının nasıl olduğu da önemlidir Örneğin iki ayrı sınıfta öğrencilerin ölçme ve değerlendirme dersi not ortalaması 40 olsun Buna dayanarak her iki sınıfın başarı düzeyleri aynıdır diyebilir miyiz? İlk etapta bu soruya “evet” denilebilir Ancak bir de şunları bilelim: Bir sınıfta notlar 35-40 puan arasında iken, diğer sınıfta 15-75 arasında olsun Bu durumda her iki sınıfın düzeylerinin farklı olduğu; aritmetik ortalamaların da başarı düzeyini açıklamakta pek yeterli olmadığı anlaşılacaktır Böyle durumlarda merkezî yığılma ölçülerinin yanı sıra merkezî yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur Bir merkezî yığılma (eğilim) ölçüsünün, bir grup ölçümü ne derece temsil ettiğini bir karara bağlamak ve her hangi bir ölçümün, grup ortalamasının ne kadar altında ve üstünde olduğunu (yani ölçümlerin grup içindeki yerini) göstermek için merkezî yayılma ölçüleri kullanılır
Genişlik (ranj), standart sapma (ss), ortalama sapma ve çeyrek sapma merkezî yayılma ölçüleridir
Genişlik (Ranj):
Yayılma ölçüleri içinde en kaba ve hesaplanışı en kolay olanıdır Gözlenen ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark ya da açıklık bize ranjı verir Ranj özellikle veri sayısının çok olduğu durumlarda güvenilir değildir
Örnek: Matematik sınavında bir grup öğrenci 23, 34, 37, 45, 50, 56, 57, 70, 77, 86 ve 91 puan almışlardır Dağılımın ranjını bulalım:
Ranj=91-23=68’dir
Standart Sapma
Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en güvenilir ölçüsü standart sapmadır İstatistikte en çok kullanılan yayılma ölçüsüdür Standart sapma bir dağılımda ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamaya göre yayılmanın bir ölçüsünü verir Formülle gösterirsek;
Örnek: Aşağıda bir grup öğrencinin matematik dersinden aldıkları puanlar verilmiştir Dağılımın standart sapmasını hesaplayınız 30 70 60 30 70 65 55 70 40 50 20 50 80 60 30 35 70 30 65 40 55 50 60 40 40 20 30 10 55 20
n=30
Σx=1400
x=46,66
Σx²=75250
MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM) ÖLÇÜLERİ
Merkezî yığılma ölçüleri, bir veri grubunun dağılımında, verilerin etrafında yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri grubunu “özetleyen” değerlerdir Örneğin “sınıfın Türkçe dersi ortalaması 75” dediğimizde, bu notun o sınıftaki tüm öğrencilerin Türkçe dersi notlarını temsil ettiğini düşünürüz Aritmetik ortalama (), ortanca (ortn, Medyan), mod, geometrik ortalama (GO), harmonik ortalama (HO) ve karesel ortalama (KO) merkezî eğilim ölçüleridir
Aritmetik Ortalama
a) Aritmetik ortalamanın ham verilerden hesaplanması
Merkezî yığılma ölçülerinin en çok kullanılanıdır Genel olarak “ortalama” olarak da isimlendirilir Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplam veri sayısına bölümüne eşittir Formülle gösterirsek;
Ya da
En istikrarlı merkezî eğilim ölçüsü isteniyorsa ve dağılım çok çarpık değilse merkezî eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanılır
Örnek-1:
Bir anaokulu sınıfında öğrencilerin ağırlıkları 12, 13, 19, 17, 19kg olarak hesaplanmış Ortalamasını hesaplayınız
kg
Örnek-2:
6 kişilik bir voleybol takımında oyuncuların boy uzunlukları 196, 179, 182, 187, 193, 192 cm’dir Takımın boy ortalamasını bulalım:
b) Aritmetik ortalamanın tekrarlanan verilerden hesaplanması
Ağırlık
Frekans
fx
24
2
48
23
3
69
22
3
66
21
3
63
20
3
60
19
5
95
18
6
108
17
2
34
16
6
96
15
4
60
14
0
0
13
2
26
12
1
12
N=40
Σfx=737
kg
c) Aritmetik ortalamanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması
Puanlar
Frekans
Orta Nokta xo
fxo
85–89
2
87
174
80–84
1
82
82
75–79
4
77
308
70–74
9
72
648
65–69
13
67
871
60–64
26
62
1612
55–59
19
57
1083
50–54
12
52
624
45–49
8
47
376
40–44
3
42
126
35–39
2
37
74
30–34
1
32
32
N=100
Σfxo=6010
Σfx=61,10
Geometrik Ortalama
Bir dizideki ölçümlerin birbirleriyle çarpılıp, çarpılan ölçün sayısı derecesinde kökünün alınmasına eşittir GO’nun hesaplanmasında değerler sıfırdan büyük olmak zorundadır
Geometrik ortalama- Ölçümler arasındaki değişme oranı
<li class="MsoNormal"> Gelişme ve büyüme hızı
<li class="MsoNormal"> İndeks saptamada kullanılır
ÖRNEK:
Bir şehirde ev kiraları ortalama olarak 1940 yılında 100 TL; 1950 yılında 200 TL; 1960 yılında 600 TL; olarak gerçekleşmiştir Söz konusu şehirde ortalama artış miktarı nedir; hesaplayınız
1940 1950 1960
100 (2 kat) 200 (3 kat) 600
Harmonik Ortalama
Ölçümlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir Oranların özellikle de zaman oranlarının ortalamalarının hesaplanmasında kullanılır
ÖRNEK:
Bir koşucu koştuğu 800m’lik parkurun ilk 400m’sini 80 saniyede, ikinci 400m’lik mesafesini ise 100 saniyede koşmuştur Koşucunun parkurdaki ortalama hızını hesaplayınız
İlk 100m’de 5m/sn hız
İkinci 100m’de 4m/sn hız
Kısa yol (oranlama yöntemi)
Ortalamaların Ortalaması
Ya da
Ortanca (Medyan)
a) Ortancanın ham verilerden hesaplanması
Ortanca (ortn, medyan): Veriler sıraya konulduktan sonra tam ortaya düşen (yani verileri tam ortadan iki eşit parçaya bölen) değerdir Bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran değerdirFormülle gösterirsek:
a)veriler tek sayıda ve frekanslar “1”se
’nci değer
b)veriler çift sayıda ve frekanslar “1”se
’nci değer
Medyan; aritmetik ortalamayı hesaplamak için yeterli süre yoksa, dağılımın tam orta noktası isteniyorsa, uç puanların ortalamayı büyük ölçüde etkilemesi söz konusu ise ortanca hesaplanır Hesaplamaya başlanmadan önce veriler büyüklük sırasına konulur
Örnek-1:
Bir grup öğrencinin kompozisyon sınavından aldıkları notların (100, 98, 93, 45, 34) ortancasını bulalım
Veriler tek sayıda (n=5) ve frekanslar “1”
değer (Ortn=93)
Örnek-2:
Bir grup öğrenci İngilizce sınavdan 65, 75, 72, 50, 34, 59 puanlarını almış olsunlar Dağılımın ortancasını hesaplayalım
(Önce veriler büyüklük sırasına konulacak)
Veriler çift sayıda (n=6) ve frekanslar “1”
değer
Baştan üçüncü değer 59, sonradan üçüncü değer 65 olmaktadır Bu durumda ortanca;
olarak bulunur
b) Ortancanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması
Puanlar
Frekans
tf (yf)
85–89
2
100
80–84
1
98
75–79
4
97
70–74
9
93
65–69
13
84
60–64
26
71
55–59
19
45
50–54
12
26
45–49
8
14
40–44
3
6
35–39
2
3
30–34
1
1
N=100
L: Ortancanın içine rastladığı aralığın alt sınırı (59,5)
tfa: ortancanın rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans) (45)
fb: Ortancanın içine rastladığı aralığın frekansı (26)
a: aralık katsayısı (29,5 – 34,5 = 5)- Grup 100 kişi; o halde medyan 100/2=50 kişi
- Toplam frekans (tf) sütununda 50 kişinin 60-64 aralığında olduğu anlaşılıyor
(Ortanca aynı zamanda veya olarak da isimlendirilir Bir diğer deyişle medyan 50 yüzdeliktir )
Yüzdelikler
L: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın alt sınırı
tfa: Yüzdeliğin rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans)
fb: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın frekansı
a: aralık katsayısı
alıntıdır
|