Asal Sayı Nedir? Asal Sayı Neye Denir? Asal Sayı Nelerdir? Asal Sayılar Nelerdir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

Asal Sayılar Asal Sayılar Nedir Asal Sayılar Tanımı

Tanımlar
Tanım1
Yalnız bir ve kendisi ile bölünebilen birden büyük doğal sayılar asal sayıdır

Tanım2
Bütün bölenlerinin kümesi ancak ve ancak iki elemanlı birden büyük doğal sayılar

Tanım
3Sıfırdan ve birden farklı doğal sayılar kümesinde bir sayının böleni yalnız ve yalnız kendisiyse asal sayıdır
Yukarıdaki tanımlara göre 2,3,5,7,11,13,17

sayıları asaldır

Bir tanım gereği asal değildir

Sıfır ise Bire bölünebilir fakat kendisiyle bölümünden sonuç sonsuz olduğu için asal sayı değildir

Buna göre 2 biricik çift asal sayıdır

Diğer bütün sayılar ikiye bölünebildiği için asal değildirler

Tanım4
Asal olmayan 0,1 den farklı doğal sayılara bileşik sayı denir buna göre doğal sayılar kümesi üç kümenin birleşiminden oluşur

A:{0,1}U B
{x:x asal sayı}U C:{x:x>1 x bileşik sayı}=Doğal sayılar kümesi

ASAL SAYILAR ÇİZELGESİNİN BULUNUŞU (ERATOSTEN KALBURU)
Çizelge n sayısına kadar olan asal sayıları bulmak için kullanılır

n sayısı aşırı büyük olmamalıdır

Yöntem son derece basittir

Şimdi n i 110 alarak çizelgeyi çizmeye çalışalım

a)Önce 0 dan 110 kadar bütün doğal sayılar yazılır

0 ile 1 asal değildir çizilir

b)İlk asal sayı 2dir Kendinden büyük katları çizilir Çünkü bunlar iki ve bire bölündüğünden asal değildir

Dikkat edilirse çizilen ilk sayı
22 =4tür

c)Sonra sıra çizilmeyen ilk sayı olan 3 e gelir

3 asaldır

Onunda kendinden büyük katları çizilir

İlk çizilen 32 =9 dur

d)Bu şekilde devam edilir

72 =49damn sonra devam edilmez çünkü 112 =121 tabloda yoktur

Böylece 1 den 110 a kadar olan asal sayılar çizilmeyenler olarak karşımıza çıkar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Bu çizelge metodun ismi olan Eratosten Kalburu ismini alır

ERATOSTEN KALBURUNUN ÖZELLİKLERİ
TEOREM1Eratosten Kalburu metodunda asal sayıların kendilerinden büyük katları çizildiğinde, çizilmemiş en küçük ilk¬ ¬¬¬X sayısı asaldır

Bunu olmayana ergi metodundan ispatlayabiliriz

İSPAT
Biran için X in asal olmadığını varsayalım

O zaman X in kendisi ve birden başka kendinden küçük bir B böleni, olmalıdır

X çizilmeyen en küçük sayıydı (Hipotez) O halde B böleni çizilen sayılar arasındadır

Bu ise Bnin daha önce belirtilmiş asal sayılardan birinin kendisinden farklı katı olduğunu gösterir

O halde bu asal sayılardan biri B yi böler B de X i böldüğünden (Bölünebilme bağıntısı geçişlidir)Bu asal sayı X i böler

Buradan X in bu asal sayının kendisinden farklı katı olduğu çıkar ki o zaman X in çizilmesi gerekir

Ama asal sayı olduğu için çizilmemiştir

Çelişki vardır

Onun için X asal sayı olmak zorundadır

TEOREM2
Eroatosten Kalburunda bir X asal sayısının kendisinden farklı katlarının çizilmesi sırasında ilk silinen sayı X

X=X2 dir

İSPAT:X asal sayısının kendisinden büyük X2 den küçük katlarını yazalım
1)X

2,X

3,X

4,X

5

X

k

,X(X-1 )
1)dekiler ayrıca sıra ile 2nin,3ün,4ün,5in

k nın katlarını da verir
Xten küçük birden büyük sayılar
2)2,3,4,5

,k

,(X-1)
2)deki sayılar X ten küçüktür

O halde bu sayılar ya çizilmemiş asal sayıdır yada Xten önceki çizilmiş sayılardır

2)deki sayıların belirtecini k alırsak
i)k=asalsa X

k tipinde olan(1)deki sayılar k nın katları arasında çizilmişlerdir
ii)K=asal değilse bu sayı xten küçük bir Z asal sayısının katı olacağından k=Z

Y
dirX

k=X1)deki Xin katları Znin katları arasında çizilmişlerdir

Ohalde xin x2 küçük x ten büyük katları çizilmiştir gen O halde X asalının kendisinden farklı çizilecek ilk sayısı karesidir

ASAL SAYILARDA BAZI ÖZELLİKLER
Bir Bileşik Sayının En Küçük Asal Böleni

Teorem
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asaldır

İSPAT
X sayısının bölenleri kümesi B(x) olsun

Bu kümenin en küçük elemanı 1 en büyük elemanı a olan sonlu bir kümedir ve bu sıralamada Y sayısı birden sonra gelen ilk sayıdır

Bu sayının asallığını ispat için bir an bu sayının asal olmadığını varsayalım o zaman bu Y sayısının kendinde ve 1 den farklı bir böleni daha olacaktır

Yani Başka bir deyişle B(a) kümesinde Y den küçük bir d sayısı olacaktır

Halbuki en küçük bölen Y idi ondan küçük sayı olamaz

Çelişki vardır Onun için Y sayısı bileşik sayı olmalıdır

Tanım
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asal sayıya bu bileşik sayının en küçük asal böleni denir

Sonuçlar
1

a)Bir bileşik sayının en küçük asal böleni,en fazla bölümü kadardır

İspat
Bir A bileşik sayısı alalım bu sayının en küçük asal böleni Y olsun

Bölme işleminin sağlamasından A=Y

k olur

Buradan Anın Y ye bölünmesinden elde edilen k bölümü Anın bir bölenidir

Y,Anın birden farklı en küçük böleni olduğundan Y< k olur

1

b)Bir bileşik sayının en küçük asal böleninin karesi o sayıdan büyük olamaz

Y£ k idi
Y

Y£ Y

k
Y2 £A yazılabilir

Y

k=A

BİR BİLEŞİK SAYININ ÇARPANLARINA AYRILMASI BÖLENLERİNİN SAYISI VE TOPLAMI
Tanım Bir bileşik sayı ,asal sayıların yada sıfırdan farklı doğal kuvvetlerin çarpımı şeklinde yazılmış ise bu bileşik sayı asal çarpanlarına ayrılmış denir

Teorem(Aritmetiğin temel teoremi Her bileşik sayı,asal çarpanlarına ayrılabilir ve bu ayrılış ancak ve ancak bir türdedir

İspat Ayrışımın varlığı
Herhangi bir a bileşik sayısı alalım

Her bileşik sayının bir en küçük asal böleni vardır teoreminden anın p1 gibi bir asal böleni olmak zorundadır

Bölme tanımına göre a=p1

a1 dır

ve p1 >1 olduğundan a1

09-11-2012	#2
Prof. Dr. Sinsi	Asal Sayı Nedir? Asal Sayı Neye Denir? Asal Sayı Nelerdir? Asal Sayılar Nelerdir? Asal Sayılar Asal Sayılar Nedir Asal Sayılar Tanımı Tanımlar Tanım1 Yalnız bir ve kendisi ile bölünebilen birden büyük doğal sayılar asal sayıdır Tanım2 Bütün bölenlerinin kümesi ancak ve ancak iki elemanlı birden büyük doğal sayılar Tanım 3Sıfırdan ve birden farklı doğal sayılar kümesinde bir sayının böleni yalnız ve yalnız kendisiyse asal sayıdır Yukarıdaki tanımlara göre 2,3,5,7,11,13,17 sayıları asaldır Bir tanım gereği asal değildir Sıfır ise Bire bölünebilir fakat kendisiyle bölümünden sonuç sonsuz olduğu için asal sayı değildir Buna göre 2 biricik çift asal sayıdır Diğer bütün sayılar ikiye bölünebildiği için asal değildirler Tanım4 Asal olmayan 0,1 den farklı doğal sayılara bileşik sayı denir buna göre doğal sayılar kümesi üç kümenin birleşiminden oluşur A:{0,1}U B {x:x asal sayı}U C:{x:x>1 x bileşik sayı}=Doğal sayılar kümesi ASAL SAYILAR ÇİZELGESİNİN BULUNUŞU (ERATOSTEN KALBURU) Çizelge n sayısına kadar olan asal sayıları bulmak için kullanılır n sayısı aşırı büyük olmamalıdır Yöntem son derece basittir Şimdi n i 110 alarak çizelgeyi çizmeye çalışalım a)Önce 0 dan 110 kadar bütün doğal sayılar yazılır0 ile 1 asal değildir çizilir b)İlk asal sayı 2dir Kendinden büyük katları çizilir Çünkü bunlar iki ve bire bölündüğünden asal değildir Dikkat edilirse çizilen ilk sayı 22 =4tür c)Sonra sıra çizilmeyen ilk sayı olan 3 e gelir 3 asaldır Onunda kendinden büyük katları çizilir İlk çizilen 32 =9 dur d)Bu şekilde devam edilir72 =49damn sonra devam edilmez çünkü 112 =121 tabloda yoktur Böylece 1 den 110 a kadar olan asal sayılar çizilmeyenler olarak karşımıza çıkar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 Bu çizelge metodun ismi olan Eratosten Kalburu ismini alır ERATOSTEN KALBURUNUN ÖZELLİKLERİ TEOREM1Eratosten Kalburu metodunda asal sayıların kendilerinden büyük katları çizildiğinde, çizilmemiş en küçük ilk¬ ¬¬¬X sayısı asaldır Bunu olmayana ergi metodundan ispatlayabiliriz İSPAT Biran için X in asal olmadığını varsayalım O zaman X in kendisi ve birden başka kendinden küçük bir B böleni, olmalıdır X çizilmeyen en küçük sayıydı (Hipotez) O halde B böleni çizilen sayılar arasındadır Bu ise Bnin daha önce belirtilmiş asal sayılardan birinin kendisinden farklı katı olduğunu gösterir O halde bu asal sayılardan biri B yi böler B de X i böldüğünden (Bölünebilme bağıntısı geçişlidir)Bu asal sayı X i böler Buradan X in bu asal sayının kendisinden farklı katı olduğu çıkar ki o zaman X in çizilmesi gerekir Ama asal sayı olduğu için çizilmemiştir Çelişki vardır Onun için X asal sayı olmak zorundadır TEOREM2 Eroatosten Kalburunda bir X asal sayısının kendisinden farklı katlarının çizilmesi sırasında ilk silinen sayı XX=X2 dir İSPAT:X asal sayısının kendisinden büyük X2 den küçük katlarını yazalım 1)X2,X3,X4,X5 Xk,X(X-1 ) 1)dekiler ayrıca sıra ile 2nin,3ün,4ün,5ink nın katlarını da verir Xten küçük birden büyük sayılar 2)2,3,4,5,k,(X-1) 2)deki sayılar X ten küçüktür O halde bu sayılar ya çizilmemiş asal sayıdır yada Xten önceki çizilmiş sayılardır2)deki sayıların belirtecini k alırsak i)k=asalsa Xk tipinde olan(1)deki sayılar k nın katları arasında çizilmişlerdir ii)K=asal değilse bu sayı xten küçük bir Z asal sayısının katı olacağından k=ZY dirXk=X1)deki Xin katları Znin katları arasında çizilmişlerdir Ohalde xin x2 küçük x ten büyük katları çizilmiştir gen O halde X asalının kendisinden farklı çizilecek ilk sayısı karesidir ASAL SAYILARDA BAZI ÖZELLİKLER Bir Bileşik Sayının En Küçük Asal Böleni Teorem Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asaldır İSPAT X sayısının bölenleri kümesi B(x) olsun Bu kümenin en küçük elemanı 1 en büyük elemanı a olan sonlu bir kümedir ve bu sıralamada Y sayısı birden sonra gelen ilk sayıdır Bu sayının asallığını ispat için bir an bu sayının asal olmadığını varsayalım o zaman bu Y sayısının kendinde ve 1 den farklı bir böleni daha olacaktır Yani Başka bir deyişle B(a) kümesinde Y den küçük bir d sayısı olacaktır Halbuki en küçük bölen Y idi ondan küçük sayı olamaz Çelişki vardır Onun için Y sayısı bileşik sayı olmalıdır Tanım Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asal sayıya bu bileşik sayının en küçük asal böleni denir Sonuçlar 1a)Bir bileşik sayının en küçük asal böleni,en fazla bölümü kadardır İspat Bir A bileşik sayısı alalım bu sayının en küçük asal böleni Y olsun Bölme işleminin sağlamasından A=Yk olur Buradan Anın Y ye bölünmesinden elde edilen k bölümü Anın bir bölenidir Y,Anın birden farklı en küçük böleni olduğundan Y< k olur 1b)Bir bileşik sayının en küçük asal böleninin karesi o sayıdan büyük olamaz Y£ k idi YY£ Yk Y2 £A yazılabilir Yk=A BİR BİLEŞİK SAYININ ÇARPANLARINA AYRILMASI BÖLENLERİNİN SAYISI VE TOPLAMI Tanım Bir bileşik sayı ,asal sayıların yada sıfırdan farklı doğal kuvvetlerin çarpımı şeklinde yazılmış ise bu bileşik sayı asal çarpanlarına ayrılmış denir Teorem(Aritmetiğin temel teoremi Her bileşik sayı,asal çarpanlarına ayrılabilir ve bu ayrılış ancak ve ancak bir türdedir İspat Ayrışımın varlığı Herhangi bir a bileşik sayısı alalım Her bileşik sayının bir en küçük asal böleni vardır teoreminden anın p1 gibi bir asal böleni olmak zorundadır Bölme tanımına göre a=p1 a1 dır ve p1 >1 olduğundan a1