Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler
Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler

Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir

Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir

Bir dik üçgende kenarlar arasında a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır

Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır

Bu bağıntıya göre, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir

Öklid Bağıntıları

Ana madde: Öklid Bağıntıları Öklid Bağıntıları, bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme sonucunda oluşan dik üçgenler arasındaki çeşitli benzerliklerden çıkan bağıntılara verilen isimdir

Örneğin indirilen dikmenin karesi, hipotenüsün dikme tarafından ayrılan parçalarının çarpımına eşittir

Özel Dik Üçgenler

Açıya Göre

İkizkenar dik üçgen

45-45-90 Üçgeni

45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir

Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların katıdır

Oran aşağıdaki gibidir:

İspatı ise çok basittir

Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır

Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs çıkar

30-60-90 Üçgeni

30-60-90 üçgeni ve ispatı

Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır:

Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı ve 60°'nin karşısındaki kenar da 30°'nin karşısındaki kenarın katıdır

İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır

Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir

Aynı zamanda da açıortay olacaktır

Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır

Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır

Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme cm bulunacaktır

22,5-67,5-90 Üçgeni

Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5 cm'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur

İspatı ise 67,5°'lik açıyı 45° ve 22,5° şeklinde parçalayarak yapılır

Bu şekilde altta oluşan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs cm olur

Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur

Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından elde edilir

15-75-90 Üçgeni

Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur

İspatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir

Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılarara bölünmesidir

Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün katıdır

Kenara Göre

Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır

Bazı özel üçgenler şunlardır:
Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3-4-5 ve 6-8-10)

09-11-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir Bir dik üçgende kenarlar arasında a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır Pisagor Teoremi Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır Bu bağıntıya göre, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir Öklid Bağıntıları Ana madde: Öklid Bağıntıları Öklid Bağıntıları, bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme sonucunda oluşan dik üçgenler arasındaki çeşitli benzerliklerden çıkan bağıntılara verilen isimdir Örneğin indirilen dikmenin karesi, hipotenüsün dikme tarafından ayrılan parçalarının çarpımına eşittir Özel Dik Üçgenler Açıya Göre İkizkenar dik üçgen 45-45-90 Üçgeni 45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların katıdır Oran aşağıdaki gibidir: İspatı ise çok basittir Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs çıkar 30-60-90 Üçgeni 30-60-90 üçgeni ve ispatı Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır: Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı ve 60°'nin karşısındaki kenar da 30°'nin karşısındaki kenarın katıdır İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir Aynı zamanda da açıortay olacaktır Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme cm bulunacaktır 22,5-67,5-90 Üçgeni Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5 cm'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur İspatı ise 67,5°'lik açıyı 45° ve 22,5° şeklinde parçalayarak yapılır Bu şekilde altta oluşan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs cm olur Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından elde edilir 15-75-90 Üçgeni Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur İspatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılarara bölünmesidir Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün katıdır Kenara Göre Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır Bazı özel üçgenler şunlardır: Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3-4-5 ve 6-8-10)