Permütasyonun Kullanım Alanları Nelerdir

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM

I

PERMÜTASYON
A

SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m

n yolla yapılabilir

*
B

FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir

0! = 1 olarak tanımlanır

1! = 1
2! = 1

2
……………

……………

n! = 1

2

3

…

(n – 1)

n
Ü* n! = n

(n – 1)!
Ü* (n – 1)! = (n – 1)

(n – 2)!* dir

Ü* n

n! = (n + 1)! – n!
*
C

TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

*
Ü *1) P(n, n) = n!
**** 2) P(n, 1) = n
**** 3) P(n, n – 1) = n! dir

*
D

TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1

çeşitten, n2 tanesi 2

çeşitten, … , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun

n = n1 + n2 + n3 + … + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

*
E

DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir

*

n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının
sayısı : (n > 2)
*
*
II

KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı
*

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur

*

*
Ü* n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
***
*
Ü* Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
**** a) Çizilebilecek doğru sayısı
**** b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir

Ü* Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı
*** noktada kesişirler

Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir

*

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur

Ü* Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim
*** noktası vardır

*
III

BİNOM AÇILIMI
A

TANIM
n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir

Burada;

sayılarına binomun kat sayıları denir

ifadelerinin her birine terim denir

ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir

B

(x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır

2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir

3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır

Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir

4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
**** baştan (r + 1)

terim :
**** sondan (r + 1)

terim :

(x – y)n ifadesinin açılımında 1

terimin işareti (+), 2

terimin işareti (–), 3

terimin işareti (+) … dır

Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir

*
Ü* n Î N+ olmak üzere,
*** (x + y)2n nin açılımında ortanca terim
***
*
Ü* n Î IN+ olmak üzere,
*** açılımındaki sabit terim,
***
*** ifadesinde m

(n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur

*
Ü* c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır

*
Ü* (a + b + c)n nin açılımında ak

br

cm li terimin kat sayısı;

09-11-2012	#2
Prof. Dr. Sinsi	Permütasyonun Kullanım Alanları Nelerdir PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM I PERMÜTASYON A SAYMANIN TEMEL KURALI 1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir 2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m n yolla yapılabilir * B FAKTÖRİYEL 1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir 0! = 1 olarak tanımlanır 1! = 1 2! = 1 2 …………… …………… …………… n! = 1 2 3 … (n – 1) n Ü* n! = n (n – 1)! Ü* (n – 1)! = (n – 1) (n – 2)!* dir Ü* n n! = (n + 1)! – n! * C TANIM r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı, * Ü 1) P(n, n) = n! * 2) P(n, 1) = n ** 3) P(n, n – 1) = n! dir * D TEKRARLI PERMÜTASYON n tane nesnenin; n1 tanesi 1 çeşitten, n2 tanesi 2 çeşitten, … , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun n = n1 + n2 + n3 + … + nr olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı, * E DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı : (n – 1)! dir * n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı : (n > 2) * * II KOMBİNASYON TANIM r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı * Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur * * Ü* n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı: *** * Ü* Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla; ** a) Çizilebilecek doğru sayısı ** b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir Ü* Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı *** noktada kesişirler Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir * Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur Ü* Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim *** noktası vardır * III BİNOM AÇILIMI A TANIM n Î IN olmak üzere, ifadesine binom açılımı denir Burada; sayılarına binomun kat sayıları denir ifadelerinin her birine terim denir ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir B (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ 1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır 2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir 3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir 4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde; ** baştan (r + 1) terim : ** sondan (r + 1) terim : (x – y)n ifadesinin açılımında 1 terimin işareti (+), 2 terimin işareti (–), 3 terimin işareti (+) … dır Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir * Ü* n Î N+ olmak üzere, * (x + y)2n nin açılımında ortanca terim * * Ü* n Î IN+ olmak üzere, * açılımındaki sabit terim, * *** ifadesinde m (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur * Ü* c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır * Ü* (a + b + c)n nin açılımında ak br cm li terimin kat sayısı;