|
Prof. Dr. Sinsi
|
Matematiksel Limit Kavramı - Matematiksel Limit Kavramının Tarihsel Gelişimi Hakkında
Matematiksel Limit Kavramı - Matematiksel Limit Kavramının Tarihsel Gelişimi Hakkında
Matematiksel Limit Kavramı - Matematiksel Limit Kavramının Tarihsel Gelişimi Hakkında
LİMİT
Alm Grenze (f), Fr Limite (f), İng Limit Matematik analizde kullanılan temel bir kavram Euclid veArchimedes tarafından eğrisel kenarlara sâhip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır Meselâ, dâireye, içine çizilecek çokgenlerle yaklaşmak, limit kullanarak mümkündür Önce bir kare ve
Alm Grenze (f), Fr Limite (f), İng Limit Matematik analizde kullanılan temel bir kavram Euclid veArchimedes tarafından eğrisel kenarlara sâhip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır Meselâ, dâireye, içine çizilecek çokgenlerle yaklaşmak, limit kullanarak mümkündür Önce bir kare ve daha sonra sekizgen çizilerek devam edilir Her bir şekil bir öncekinden iki kat fazla kenara sâhib olur Böylece daireye, alan ve çevre bakımından yaklaşmak mümkün olur Eğer p1, ilk çizilen karenin çevresi ise ve karenin bir kenarının daire merkezine dik uzaklığa a1 ile gösterilirse, karenin alanı; (P1/2) a1 olur İkinci şekil olan düzgün sekizgende ise benzer şekilde çevre P2 ve merkezin bir kenara olan dik uzaklığı a2 ile gösterilirse, alanı (P2/2) a2 olur Bu böyle devam edilirse n, çokgen için (Pn/2) an yazılır Yani an dairenin r yarıçapına yaklaştıkça, Pn çevresi de 2 π rye yaklaşır Böylece dairenin alanı olan (Pn/2) an, giderek (2πr/2)r= πr2ye yaklaşır
Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibnizin eserlerinde görülmüştür Meselâ, diferansiyel hesapta bir eğri (daire gibi) sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sâhip bir çokgen olarak kabul edilir Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pekçok fizik probleminin kolayca ele alınmasına sebep olmuştur Tabii bu arada bir takım yanıltıcı problem çözümlerine de rastlanmıştır Bunların çözümü daha sonra gelen matematikçiler tarafından yapılmıştır????:
Matematiksel limit kavramının tarihsel gelişimi nasıl olmuştur
Meselâ, bu problemlere bir misal için, bir eşkenar üçgen düşünelim Bu üçgenin kenarlarının orta noktalarından yan kenarlara paralel çizelim Böylece ortaya çıkan iki eşkenar üçgende benzer işlemi tekrarlayalım Her devrede (durumda) eşkenar üçgenlerin yan kenarların toplamı, ilk eşkenar üçgenin
yan kenarları toplamına eşit olacaktır Ancak, bu işleme devam edilirse, eşkenar üçgenlerle taban kenar arasında kalan alan sıfıra yaklaşır Böylece şu iddia edilebilir ki, taban kenarın boyu yan kenarların toplamına eşittir Ancak, bunun yanlış olduğu meydandadır Burada yanıltıcı unsur, limit şekil ile buna yaklaşan şeklin özelliklerinin aynı olmamasındadır Örnekte, taban kenar düz doğru olduğu halde buna yaklaşan şekil sonsuz sayıda köşelere sâhip bir kırık çizgidir????:
Matematiksel limit kavramının tarihsel gelişimi nasıl olmuştur
Limitin aritmetik teorisi: Eğer a1, a2, a3 an, bir sayı dizisi ise bunun limitinin L olması için,
verilen ve istenildiği kadar küçük olan bir ε (epsilon) sayısına karşılık bir p sayısının, n>p ve |an-L|< ε olmak üzere bulunabilmesidir Meselâ:
FORMÜL VARRRRR
verilen her pozitif ε değerinden küçük tutulacak şekilde n sayısı bulunabilir Bu sonuç,
formül var
şeklinde yazılabilir Diğer bir limit örneği, meşhur an= (formül var) dizisidir Bunun n 0 D için limiti, matematik analizde çok kullanılan e= 2,71828 sayısıdır
Eğer f (x) bir gerçel (reel) fonksiyonsa, yâni her gerçel (reel) x sayısına bir gerçel (reel) f(x) sayısı karşı geliyorsa, x değişkeni a değerine yaklaştığı zaman, f(x) de L sayısına yaklaşıyorsa f(x)in limiti Ldir denir ve Lim f(x)= L yazılır
x^-a
Alternatif : Limit
Limit kelime Latince Limes ya da Limites 'den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamdadır Öklid ve Arşimet tarafından eğrisel kenarlara sahip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibniz'in eserlerinde görülmüştür Mesela, diferansiyel hesapta bir eğri (daire gibi) sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sahip bir çokgen olarak kabul edilir Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pekçok fizik probleminin kolayca ele alınmasını sağlar Matematiksel kullanımı
f(x) fonksiyonu bir açık aralıkta tanımlanmış olsun, ve L bir gerçel sayı olsun Bütün varepsilon >0 delta >0 bulunabiliyor, öyle ki bütün 0<|x-a|< delta sağlayan x için , | f (x)-L|< varepsilon eşitsizliği doğru ise; L, f(x)'in a noktasındaki limitidir Bir fonksiyonun a'daki limiti (L): : lim_{x o a}f(x) = L şeklinde gösterilir değerleri için, bir Önemli limitler
lim_{x o infty} (1 + frac {k}{x})^x = e^k
lim_{x o 0} (1 + x)^frac {k}{x} = e^k
lim_{x o 0} cos(x) = 1
lim_{x o 0} frac {sin(x)} {x} = 1
lim_{x o 0} frac { an(x)} {x} = 1 Limit teoremleri
Eğer lim_{x o infty} f(x) = a ve lim_{x o infty} g(x) = b ise o zaman aşağidaki denklemler doğru: lim_{x o infty} (f(x) pm g(x)) = a pm b
lim_{x o infty} (f(x) sdot g(x)) = a sdot b
lim_{x o infty} frac {f(x)} {g(x)} = frac {a} {b}, eğer b
e 0
Eğer |f(x)| le |g(x)| ve lim_{x o infty} g(x) = 0, o zaman lim_{x o infty} f(x) = 0 kategori:Matematiksel analiz lmo:Límit (matemàtega)
|