|
Prof. Dr. Sinsi
|
Spektrum Analizi Teorisi - Spektrum Analizi Teorisi Ve Ölçümü Hakkında
Filtre edilmiş dizideki eleman sayısı , giriş dizisindeki eleman sayısına eşittir
Filtreleme tamamlandığında filtre , iç filtre hali değerlerini muhafaza eder
Dijital IIR filtrelerinin , sonlu impals cevap (FIR) filtrelerine göre avantajı , benzer filtreleme çalışmalarında genelde IIR filtrelerinin daha az katsayıyı gerektirmesidir Bu nedenle , IIR filtreleri daha hızlı işlerler ve ekstra hafıza gerektirmezler , çünkü yerinde işlerler
IIR filtrelerinin dezavantajı , faz cevabının nonlineer olmasıdır Eğer uygulama , faz bilgisini gerektirmiyorsa (basit işaret izlenmesi gibi) , IIR filtreleri uygun olabilir FIR filtreleri , lineer faz cevaplarını gerektiren uygulamalarda kullanılır
Kaskad Form IIR Filtreleme
(4) denklemiyle tanımlanan yapıyı kullanarak gerçekleştirilen filtreler , doğrudan form IIR filtreler olarak bilinir Doğrudan form uygulamaları, katsayı değer verilmesiyle ve hesapsal nedenlerle oluşan hatalara çoğu zaman duyarlıdır İlaveten , filtre derecesiyle orantılı olan , kararlı olması için dizayn edilen bir filtre , katsayı uzunluğunun arttırılmasıyla kararsız hale gelebilir
Daha az duyarlı bir yapı , doğrudan form transfer fonksiyonunun daha düşük derece bölümlerine veya filtre kademelerine ayrılmasıyla elde edilebilir 16-4 denklemi ile (a0=1 ile) verilen , filtrenin doğrudan form transfer fonksiyonu , z dönüşümünün bir oranı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:
(4)
(4) denklemini , ikinci dereceden dizilere çarpanlara ayırmakla filtrenin transfer fonksiyonu , ikinci dereceden filtre fonksiyonlarının bir ürününe dönüşür
(5)
Burada, Ns=[Na/2] ,
Na/2 ve Na ³ Nb şartlarını sağlayan en büyük tam sayıdır(Ns , kademe sayısıdır) Bu yeni filtre yapısı , 2 derece filtrelerin kaskadı olarak tanımlanabilir
Her kendine özgü kademe , doğrudan form II filtre yapısının kullanılmasıyla uygulamaya koyulur çünkü minimum sayıdaki aritmetik operasyonlar ve minimum sayıdaki gecikme elemanlarını (iç filtre kademeleri ) gerektirir Her kademenin , bir girişi , bir çıkışı ve 2 geçmiş iç kademesi ( sk[i-1] ve sk[i-2] ) vardır
Eğer , n , giriş dizisindeki örnek sayısıysa , filtreleme operasyonu , aşağıdaki denklemlerdeki gibi devam eder:
y0[i] = x[i] ,
sk[i] = yk-1[i-1] – a1ksk[i-1] – a2ksk[i-2] , k = 1,2,…,NS
yk[i] = b0ksk[i] + b1ksk[i-1] + b2ksk[i-2] , k = 1,2,…,NS
y[i] = yNs[i]
Her örnek için
i=0,1,2,3,………n-1
Tek bir kesim frekanslı filtreler ( alçak geçiren ve yüksek geçiren) için , 2derece filtre kademeleri , doğrudan dizayn edilebilirGenel IIR alçak geçiren veya yüksek geçiren filtre , kaskad 2 derece filtreleri içerir
İki kesim frekanslı filtreler (bant geçiren ve bant durduran) için , 4 derecede filtre kademeleri , daha doğal formdadır Genel IIR bant geçiren veya bant durduran filtre , kaskad 4 derece filtrelerdir 4derece kademeleri için filtreleme operasyonu , aşağıdaki denlemlerdeki gibi devam eder:
y0[i] = x[i] ,
sk[i] = yk-1[i-1] – a1ksk[i-1] – a2ksk[i-2] – a3ksk[i-3] - a4ksk[i-4] ,
k = 1,2,…, NS
yk[i] = b0ksk[i] + b1ksk[i-1] + b2ksk[i-2] + b3ksk[i-3] + b4ksk[i-4] ,
k = 1,2,…, NS
y[i] = yNs[i]
4derece filtre kademeleri halinde şuna dikkat edilmelidir:
NS=[(Na+1)/4]
Butterworth Filtreleri
Bütün frekanslardaki bir düzgün cevap ve belirli kesim frekanslarından monotonik bir azalış , Butterworth filtrelerinin frekans cevabını tanımlar Bant geçirende 1 değerinde ideal cevap ve bant durduranda 0’da ideal cevap vardırYarı güç frekans veya 3dB aşağı frekans, belirtilmiş kesim frekanslarına karşılık gelir
Aşağıda , bir alçak geçiren Butterworth filtrenin cevabı gösterilmiştir Butterworth filtrelerinin avantajı , düzgün , monotonik azalan frekans cevabıdırKesim frekansı ayarlandıktan sonra, LabVIEW , geçişin dikliğini filtre derecesiyle orantılı olarak ayarlar Daha yüksek dereceli Butterworth filtreleri , ideal alçak geçiren filtre cevabına yaklaşır
Chebyshev Filters
Butterworth filtreleri -band geçiren ve bant durduran (spektrumun istenmeyen bölümü) arasındaki yavaş rolloffdan dolayı- , ideal filtre cevabının iyi bir tahminini her zaman sağlamaz
İstenilen filtre cevabı (bant geçirendeki maxsimum izin verilecek hata) ve ideal filtre arasındaki farkın maksimum tam değerinin açıklanmasıyla ,Chebyshev filtreleri ,bant geçirendeki pik hatasını en aza indirir Chebyshev filtrelerin frekans cevap karakteristikleri , bant geçirende , eş dalgacık büyüklük cevabına sahiptir , bant durduranda monotonik olarak azalan büyüklük cevabına sahiptir ve Butterworth filtrelerinden daha şiddetli rolloffu vardır
Aşağıdaki grafik , bir alçak geçiren Chebyshev filtrenin cevabını gösterir Bant geçirendeki eş dalgacık cevabı , maxsimum izin verilen dalgacık hatası tarafından ve bant durduranda şiddetli rollofun ortaya çıkması tarafından zorlanır
Chebyshev filtrelerin,Butterworth filtrelere göre avantajı , Chebyshev filtrelerin , bir düşük derece filtreli bant geçiren ve bant durduran arasındaki daha sert bir geçişe sahip olmasıdır Bu da , daha düşük tam hataları ve daha yüksek işleme hızına neden olur
Chebyshev II veya Ters Chebyshev Filtreleri
Chebyshev II , (ters Chebyshev veya II tip Chebyshev filtreleri de denir ) Chebyshev filtrelerine benzerdir Farkı ise , hatayı bant durduran üzerine dağıtır
İstenilen filtre cevabı ve ideal filtre arasındaki farkın maksimum ters değerinin açıklanmasıyla ,Chebyshev II filtreleri bant durduranda pik hatasını minimize eder Chebyshev II filtrelerinin frekans cevap karakteristikleri , bant durduranda eş dalgacık büyüklük cevabına , bant geçirende monotonik azalan büyüklük cevabına ve Butterworth filtrelerinden daha şiddetli bir rolloffa sahiptir
Aşağıdaki grafik , bir alçak geçiren Chebyshev II filtresinin cevabını gösterir Bant durdurandaki eş dalgacık cevabı , maksimum izin verilen hata tarafından ve bant durduranda meydana gelen düzgün monotonik rolloff tarafından zorlanır Chebyshev II filtrelerinin , Butterworth filtrelerine göre avantajı , daha düşük derece filtreli bant durduran ve bant geçiren arasında daha sert bir geçiş (transition) vermesidir Bu da , daha küçük , tam hata ve daha yüksek işleme hızı demektirChebyshev II filtrelerinin Chebyshev filtrelerine göre avantajı ,Chebyshev II filtrelerinin hatayı bant geçiren yerine bant durduranda dağıtmasıdır
Eliptik (veya Cauer) Filtreleri
Eliptik filtreler , pik hatasını bant geçiren ve bant durduran üzerine dağıtarak , pik hatasını minimize ederBant durduran ve bant geçirendeki eşdalgacıklar ,Eliptik filtrelerin büyüklük cevabını tanımlarAynı dereceli Butterworth ve ya Chebyshev filtreleriyle kıyasla, eliptik dizayn , bant geçiren ve bant durduran arasındaki en sert geçişi sağlarBu nedenle , Eliptik filtreler çok yaygın olarak kullanılır
Aşağıdaki grafik , bir alçak geçiren eliptik filtrenin cevabını gösterir Hem bant geçiren hem de bant durdurandaki (küçük genlikli) dalgalanmanın , aynı maksimum izin verilen hata (dB cinsinden küçük genlikli dalgalanma miktarı ile belirtildiği gibi) tarafından zorlandığını gözönünde bulundurunAyrıca , düşük dereceli eliptik filtre için bile sert geçiş kenarlarını gözönünde bulundurun
Bessel Filtreleri
Bessel filtreleri , bütün IIR filtrelerinde varolan nonlineer faz bozulumunu azaltmak için kullanılırDaha yüksek derece filtrelerde ve daha dik rollofflularda , bu durum özellikle filtrelerin geçiş bölgelerinde daha belirgindir Bessel filtreleri ,hem büyüklük hem de faz cevaplarında maksimumda düz cevaba sahiptirAyrıca , Bessel filtrelerin bant geçirende faz cevabı yaklaşık lineerdir Butterworth filtreleri gibi , Bessel filtreleri , hatayı minimize etmek için yüksek derece filtrelere ihtiyaç duyar ve bu nedenle , geniş ölçüde kullanılmazlar FIR filtre dizaynları kullanılarak lineer faz cevabı da elde edilebilir Aşağıdaki grafil ,bir alçak geçiren Bessel filtrenin cevabını gösterirCevabın bütün frekanslarda düzgün olduğu ve hem faz hem de büyüklük olarak monotonik azaldığını dikkate alın Ayrıca ,bant geçirende fazın yaklaşık lineer olduğunu gözönünde bulundurun
SONLU İMPALS CEVAP FİLTRELERİ
Sonlu impals cevap (FIR) filtreleri , dijital filtrelerdir ve sonlu bir impals cevabına sahiptir FIR filtrelerine , noniteratif filtreler , konvolüsyon filtreleri , veya MA filtreleri ( moving – average ) de denir çünkü bir FIR filtrenin çıkışı bir sonlu konvolüsyon olarak ifade edilebilir:
Burada , x , filtre edilecek giriş dizisini ; y , filtrelenmiş çıkış dizisini , ve h de , FIR filtre katsayılarını gösterir
Aşağıda , FIR filtrelerinin en önemli karakteristikleri verilmiştir:
Filtre katsayısı simetrisinden dolayı lineer faz meydana getirebilirler
Her zaman kararlıdırlar
Konvolüsyon kullanarak filtreleme fonksiyonu yerine getirilebilir
Burada , n , FIR filtre katsayı sayısıdır
Aşağıdaki grafik , normalize edilmiş frekansa karşı , FIR filtrelerinin tipik bir faz ve büyüklük cevabını gösterir
Faz cevabındaki süreksizlikler , tam değeri kullanarak büyük cevabı hesaplandığında ortaya koyulan süreksizliklerden ortaya çıkar Fazdaki süreksizliklerin pi derecesinde olduğunu dikkate alın Faz , bununla beraber, net olarak lineerdir
FIR filtreler , bir ayrık zaman sisteminin belirtilmiş , istenen frekans cevabının (yaklaşık) tahmini ile dizayn edilir En genel teknikler , bir lineer-faz cevabını sürdürürken istenen büyüklük cevabını yaklaştırır
Pencereleme İle FIR Filtrelerin Dizaynı
Lineer-faz FIR filtrelerinin dizaynında kullanılan en basit metot , pencere dizayn metodudur Bir FIR filtresini pencerelemeyle dizayn etmek için , ideal bir frekans cevabıyla başlanır , onun impals cevabı hesaplanır ve daha sonra bir sonlu sayıda katsayı ortaya çıkarmak için impals cevabı kesilir İdeal impals cevabının kesilmesi (Gibbs fenomeni olarak bilinen bir etki)-FIR filtre frekans cevabında ani geçişlerdeki (kesim frekanslarında) salınım davranışına neden olur
Bir düzeltme pencere fonksiyonu kullanarak ideal impals cevabının kesilmesinin düzeltilmesiyle Gıbbs fenomesi etkileri azaltılabilir Her iki uçta FIR katsayılarının azaltılmasıyla , frekans cevabında yanal parçaların (lob) yükseklikleri azaltılabilir Bununla beraber , bu metodun dezavantajı , ana bölümün (lob) geçişlemesi , sonuç olarak kesim frekanslarında daha geniş bir geçiş bölgesinin oluşmasıdır Bir pencere fonksiyonunun seçimi , Chebyshev ve Butterworth IIR filtreleri arasındaki seçime benzerdir
Pencereleme ile FIR filtrelerinin dizayn edilmesi basittir ve hesap bakımından ucuzdur Ayrıca FIR filtrelerinin dizaynında en hızlı yoldur Bununla beraber , en iyi FIR filtre dizayn metodu değildir
Parks-McClellan Algoritmasının Kullanılmasıyla Optimum Fır Filtrelerinin Dizaynı
Parks-McClellan algoritması , verilen bir sayıdaki katsayılar için en iyi filtreyi dizayn etmeye yarayan bir optimum FIR filtre dizayn tekniğini ortaya koyar Böyle bir dizayn , kesim frekanslarındaki ters etkileri azaltırAyrıca farklı frekans bantlarında tahmin hatalarının daha kontrollü olmasını sağlar fakat bu kontrol , pencere metodu ile mümkün değildir
Parks-McClellan algoritmasını kullanarak FIR filtrelerini dizayn etmek hesapsal olarak pahalıdır
Dar Bant FIR Filtrelerinin Dizaynı
FIR filtrelerini özellikle dar bant genişlikleriyle , dizayn etmek için sıradan teknikleri kullanırken , sonuçlanan filtre süreleri çok uzun olabilir Uzun filtre süreli FIR filtreleri uzun süren dizayn ve uygulamaya koyma süresi gerektirir ve sayısal hatalara karşı daha hassastır Bazı durumlarda , Parks-McClellan algoritması gibi geleneksel filtre dizayn teknikleri , dizaynı tamamiyle başarısız kılabilir
Dar bant FIR filtrelerini dizayn etmek için IFIR (Interpolated Finite Impulse Response ) filtre dizayn tekniği denen çok verimli bir algoritma kullanılabilir Bu tekniğin kullanımı Parks-McClellan algoritmasının doğrudan uygulanmasıyla dizayn edilen filtrelerden daha az katsayıyı ( ve bu nedenle daha az katsayıyı ) gerektiren dar bant filtrelerini ortaya koyar LabVIEW , geniş bant , yüksek geçiren ( 0 yakınlarındaki kesim frekansı ) ve alçak geçiren filtreleri ( Nyquist yakınlarındaki kesim frekansı ) üretmek için bu tekniği kullanır
Pencerelenmiş FIR Filtreleri
İstenilen pencerelenmiş FIR filtre tiplerini seçmek için FIR sanal enstrumanlarının filtre tipi parametreleri kullanılır:alçak geçiren , yüksek geçiren , bant geçiren , veya bant durduran
Aşağıda liste iki ilgili FIR sanal enstrumanını verir:
FIR Pencerelenmiş Katsayılar – Pencerelenmiş (veya pencerelenmemiş )katsayıları üretir
FIR Pencerelenmiş Filtreler – Pencerelenmiş (veya pencerelenmemiş ) katsayıları kullanarak girişi filtreler
FIR Dar Bant Filtreleri
Dar bant FIR filtreleri , FIR dar bant katsayı VI’sini kullanarak dizayn edilebilir ve daha sonra da FIR dar bant filtre VI’sini kullanarak filtreleme uygulamaya koyulabilirDizayn ve uygulamaya koyma , farklı çalışmalardır çünkü gerçek filtreleme işlemi çok hızlı ve verimli olmasına karşın birçok dar bant filtre , uzun süren dizayn süresi gerektirirDar bant filtreleme diyagramları yaratılırken bu durum gözönünde tutulmalıdır
Dar bant filtre nitelikleri için gereken parametreler , filtre tipi , örnekleme oranı , bant geçiren ve bant durduran frekansları , bant geçiren küçük genlikli dalgalanması ( lineer ölçek ) , ve bant durduran zayıflamadır ( desibel ) Dar bant filtre VI’lerini kullanılarak geniş bant alçak geçiren filtreler (Nyquist yakınındaki kesim frekansı) ve geniş bant yüksek geçiren filtreler dizayn edilebilir
Aşağıdaki şekil , bir dar bant filtrenin bir impalsa cevabının tahmin edilmesi için FIR Dar Bant Katsayı Sanal Enstrumanı (VI) ve FIR Dar Bant Filtre Sanal Enstrumanının nasıl kullanıldığını gösterir
NONLİNEER FİLTRELER
Düzeltme pencereleri , IIR filtreleri , ve FIR filtreleri lineerdir çünkü , süperpozisyon ve orantısallık prensiplerini yerine getirir
L{ax(t) + by(t) } = aL{ x(t) } + bL{ y(t) } ,
Burada , a ve b sabitlerdir ; x(t) ve y(t) işaretlerdir ; L{·} lineer filtreleme operasyonudur ve giriş ve çıkışları , konvolüsyon operasyonu ile ilgilidir
Nonlineer filtre , önceki durumları yerine getiremez ve konvolüsyon operasyonu yoluyla onun çıkış işaretleri elde edilemez, çünkü bir dizi katsayı , filtrenin impals cevabını nitelendiremez Nonlineer filtreler , lineer tekniklerin kullanılmasıyla elde edilmesi zor olan belirli filtreleme karakteristikleri sağlarOrta (median) filtre , alçak geçiren filtre karakteristiklerini (yüksek frekans gürültüsünü ortadan kaldıran) ve yüksek frekans karakteristiklerini birleştiren bir nonlineer filtredir
HANGİ FİLTRENİN KULLANILACAĞININ SEÇİMİ
Daha önceki konularda , farklı tipteki filtreler ve karakteristikleri hakkında bilgi verilmiştir Hangi filtre dizaynının hangi uygulamaya en uygun düştüğünün bulunması aşağıda kısaca anlatılmıştır Genelde , uygun bir filtrenin seçimini etkileyen etkenlerin bazıları , lineer faza ihtiyaç olup olmadığı , küçük genlikli dalgalanmaların izin verilip verilmeyeceği , ve bir dar geçiş bandının gerekip gerekmediğidir Aşağıdaki akış diyagramı , doğru filtrenin seçimi için anahatlarıyla bilgi verirPratikte , son olarak en uygun olanı seçmeden önce birkaç farklı seçenekle deneme yapılmalıdır
21BİR SİNÜS DALGASINI ELDE ETME
Bu bölümdeki amaç , hem yüksek-frekans gürültüsü hem de bir sinüsoidal işaretten oluşan veri örneklerini filtrelemektir
Bu bölümde , yüksek frekans gürültülü Sinüs Model VI tarafından üretilen bir sinüs dalgası birleştirilirBirleştirilmiş işaret , sinüs dalgasını elde etmek için başka bir Butterworth filtresi tarafından alçak geçiren filtrelenmiştir
Ön Panel
1Yeni bir VI açın ve aşağıda gösterildiği gibi ön paneli ayarlayın
Numeric»Controls paletinden bir dijital kontrol seçin ve onu frekans olarak adlandırın
Numeric»Controls paletinden dikey kayma seçin ve onu kesim frekansı olarak adlandırın
Numeric»Controls paletinden başka bir dikey kayma seçin ve onu filtre derecesi olarak adlandırın
Numeric»Graph paletinden gürültülü işareti görüntülemek için bir dalga şekli grafiği seçin ve orijinal işareti görüntülemek için başka bir dalga şekli grafiği seçin
Blok Diyagramı
2Blok diyagramı aşağıdaki gibi ayarlayın
Sinüs Model VI’si ,(Functions»Analysis»Signal Generation paleti) istenilen frekansların sinüs dalgasını üretir
Üniform Beyaz Gürültü VI’si ,(Functions»Analysis»Signal Generation paleti) sinüsoidal işarete eklenen uniform beyaz gürültüyü üretir
Butterworth Filtre VI’si , (Functions»Analysis»Filters paleti) gürültüyü yüksek geçiren filtre eder
Sinüs dalgasının 10 devrini ürettiğimizi ve 1000 örnek olduğunu gözönüne alın Ayrıca , sağ taraftaki Butterworth Filtre VI’si örnekleme frekansı 1000 Hz olarak belirtilmiştir Böylece , aslında , 10 Hz’lik bir işaret üretiyorsunuz
3 VI’yi Extract the Sine Wavevi olarak LabVIEW /Activity klasörüne kaydedin
4Ön panele geri dönün 10Hz’lik bir frekans ve 25Hz’lik kesim frekansı ve 5 olarak filtre derecesini seçinVI’yi çalıştırın
5Filtre derecesini 4,3 ve 2 olarak azaltın ve filtrelenmiş işaretteki farkı gözlemleyinFiltre derecesini azaltmakla ne olduğunu açıklayın
6Bitirdiğinizde , VI’yi Extract the Sine Wavevi olarak Digfiltllb’ye kaydedin
7VI’yi kapatın
Özet
Frekans cevap karakteristiklerinden , pratik filtrelerin ideal filtrelerden farklı olduğu görülür Pratikteki filtreler için , bant geçirendeki kazanç her zaman 1 olmayabilir , bant durdurandaki zayıflama her zaman -¥ olmayabilir ve sonlu genişlikte bir geçiş bölgesi vardır Geçiş bölgesinin genişliği filtre sırasına bağlıdır ve geçik derecenin artmasıyla azalır
Ayrıca hem FIR hem de IIR digital filtreler hakkında da bilgi verilmiştir FIR filtrelerin çıkışı ,sadece mevcut ve geçmiş giriş değerlerine bağlıdırOysa , IIR filtrelerin çıkışları şu anki ve geçmiş giriş değerlerine ve de geçmiş çıkış değerlerine bağlıdır IIR filtrelerin farklı dizaynlarının frekans cevabı hakkında ve bant geçiren ve/veya bant durdurandaki küçük genlikli dalgalanmaların varlığına bağlı olarak onların sınıflandırılması hakkında bilgi verilmiştir Çıkışının geçmiş çıkışlarına bağımlılığından dolayı , bir geçici hal , VI her çağırıldığında bir IIR filtrenin çıkışında ortaya çıkar Bu geçici hal , VI’nın ilk çağrıldığından sonra , init/cont kontrolünü TRUE olarak ayarlanmasıyla ortadan kaldırılabilir
Önsöz
Dijital işaretler , dünyada her yerde yaygın olarak bulunmaktadır Radyo , televizyon ,ses sistemleri ,dijital domene doğru dönüşüm içindedirBunun nedeni , dijital işaret işlemenin , gürültüyü azaltması ve işaret işleme esnekliğine sahip olmasıdırVeri , uydulardan yer istasyonlarına dijital formda iletilir Dijital işaret işlemenin birçok avantajından dolayı , analog işaretler bir bilgisayar tarafından işlenmeden önce dijital forma dönüştürülür
Bu projede LabVIEW ile gerçekleştirilen işaret işleme , ölçümler ve analizlerin incelenmesi ele alınmıştırBu incelemeler arasında , spektrum analizi , LabVIEW’da kullanılan bazı sanal enstrumanlar ve bunların kullanımı, analizörler ve bu analizör sanal enstrumanlarının kullanımı , işaret işleme çalışmalarında ölçü sanal enstrumanlarının nasıl kullanılacağı , bir zaman domeni işaretinin frekans spektrumunun nasıl hesaplanacağı , genlik faz spektrumlarının belirlenmesi , bir işaretin harmonikleri , harmonik bozulum ve toplam harmonik bozulum hesapları , filtreleme , filtre tipleri ve kullanımları , filtre dizayn teknikleri , ve bu uygulamaların LabVIEW kontrol panellerinde uygulamaya konulması gibi konular yer almaktadır
Bu projeyi hazırlamamda bana yardımcı olan Sayın YardDoçDrŞeref Naci ENGİN hocama teşekkürlerimi sunarım
[img]images/smilies/maxih1 (12)gif[/img]
|