Öss'de Son 10 Yılda Türev, Limit Ve Süreklilik İle İlgili Çıkmış Sorular Nelerdir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

ÖSS'de Son 10 Yılda Türev, Limit Ve Süreklilik İle İlgili Çıkmış Sorular Nelerdir?
ÖSS'de Son 10 Yılda Türev, Limit Ve Süreklilik İle İlgili Çıkmış Sorular Nelerdir?

LİMİT ve SÜREKLİLİK

I

LİMİT
A

SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir

B

LİMİT KAVRAMI
Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1),

noktalarını göz önüne alalım:
Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4,

giderek a ya yaklaşırken, ordinatları
f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1,

giderek b ye yaklaşır

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz

Bu durumda,
f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir

Ve

şeklinde gösterilir

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan
E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) ,

noktalarını göz önüne alalım

Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 ,

giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 ,

giderek d ye yaklaşır

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır

” şeklinde ifade edebiliriz

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir

Ve

biçiminde gösterilir

Kural
f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,

biçiminde gösterilir

x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur

C

UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir

Buna göre,

Kural

D

LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
Özellik
f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

E

PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ
Özellik

F

İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
f(x) = sgn [g(x)] olsun

Bu sonuç genellikle doğrudur

Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır

Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir

G

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik

Bu sonuç genellikle doğrudur

Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır

Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır

H NİN x = a DAKİ LİMİTİ
Özellik

I

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
1 sinx in ve cosx in limiti
sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur

2 tanx in limiti
tanx fonksiyonu olmak üzere,
koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur

Sonuç

3

cotx in limiti
cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur

Sonuç

J

BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır

Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir

Kural

Kural
m, n Î N olmak üzere,

olur

Kural
a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler,

kuralını kullanarak hesaplanabilir

Kural

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir

Kural

II

SÜREKLİLİK
Kural

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir

Sonuç
y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

Uyarı
f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir

Kural
1 Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir

2 Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir

3 Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir

Limit ile ilgili Öss ve Öys de çıkmış Bazı sorular ve çözümleri

13

1994 - ÖYS
Çözüm:

Cevap - C

14

1995 - ÖYS
Çözüm:

Cevap - D

16

1998 - ÖYS
Çözüm:

Cevap - E

17

2006 - ÖSS
Çözüm:

Cevap - E

19

2007 - ÖSS
Çözüm:

Cevap - B

Kaynak: teorik

net

09-11-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Öss'de Son 10 Yılda Türev, Limit Ve Süreklilik İle İlgili Çıkmış Sorular Nelerdir? ÖSS'de Son 10 Yılda Türev, Limit Ve Süreklilik İle İlgili Çıkmış Sorular Nelerdir? ÖSS'de Son 10 Yılda Türev, Limit Ve Süreklilik İle İlgili Çıkmış Sorular Nelerdir? LİMİT ve SÜREKLİLİK I LİMİT A SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir B LİMİT KAVRAMI Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım: Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), noktalarını göz önüne alalım: Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, giderek a ya yaklaşırken, ordinatları f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, giderek b ye yaklaşır Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz Bu durumda, f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir Ve şeklinde gösterilir Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , noktalarını göz önüne alalım Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , giderek d ye yaklaşır Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır” şeklinde ifade edebiliriz Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir Ve biçiminde gösterilir Kural f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise, biçiminde gösterilir x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur C UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir Buna göre, Kural D LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER Özellik f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun Özellik Özellik Özellik Özellik Özellik E PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ Özellik F İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ Özellik f(x) = sgn [g(x)] olsun Bu sonuç genellikle doğrudur Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir G TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ Özellik Bu sonuç genellikle doğrudur Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır H NİN x = a DAKİ LİMİTİ Özellik I TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ 1 sinx in ve cosx in limiti sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için, olur 2 tanx in limiti tanx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için, olur Sonuç 3 cotx in limiti cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için, olur Sonuç J BELİRSİZLİK DURUMLARI belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir Kural Kural m, n Î N olmak üzere, olur Kural a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler, kuralını kullanarak hesaplanabilir Kural Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir Kural II SÜREKLİLİK Kural f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir Sonuç y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise, Uyarı f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir Kural 1 Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir 2 Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir 3 Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir Limit ile ilgili Öss ve Öys de çıkmış Bazı sorular ve çözümleri 13 1994 - ÖYS Çözüm: Cevap - C 14 1995 - ÖYS Çözüm: Cevap - D 16 1998 - ÖYS Çözüm: Cevap - E 17 2006 - ÖSS Çözüm: Cevap - E 19 2007 - ÖSS Çözüm: Cevap - B Kaynak: teoriknet