Açıortay-Kenarortay Konu Anlatımı

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-06-2012

Açıortay-Kenarortay
ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
1 Açıortay
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir

Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir

Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir

AOB bir açı,[OC açıortay m(AOC) = m(COB) |AC| = |CB|AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|

2 İç Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan

olur

(1)

ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir

olur

(2)

[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den

olur

ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla

Buradanve by=cx eşitlikleri de elde edilir

3 İç Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay uzunluğuna nA dersek

4 Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır

5 Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A dersek

6 İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90°

ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir

[DA] ^[AE]

Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir

Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur

ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI

1 Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler

Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir

ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir

a Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler

ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise

eşitlikleri vardır

b

Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir

c ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir

d ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir

e ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir

2 Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay

|AG|=|DC|=|BD|

3 Kenarortayların Böldüğü Alanlar

aKenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler

bG ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya
bölünür

c G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür

4ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur

K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır

[FE] //[BC]2[FE]=[BC]

a ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur

bKenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür

5 Kenarortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek

Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

6 Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında

09-06-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Açıortay-Kenarortay Konu Anlatımı Açıortay-Kenarortay ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI 1 Açıortay Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir AOB bir açı,[OC açıortay m(AOC) = m(COB) \|AC\| = \|CB\|AOC ve BOC eş üçgenler olduğundan \|OA\| = \|OB\| 2 İç Açıortay Bağıntısı ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin [BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan olur (1) ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir olur (2) [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den olur ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla Buradanve by=cx eşitlikleri de elde edilir 3 İç Açıortay Uzunluğu ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay uzunluğuna nA dersek 4 Dış Açıortay Bağıntısı ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır 5 Dış Açıortay Uzunluğu ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna n'A dersek 6 İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı m(DAE)=90° ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için 2a + 2b = 180° a + b = 90° dir [DA] ^[AE] Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI 1 Ağırlık Merkezi Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirlerKenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir a Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır b Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir c ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve \|AG\| = 2\|GD\| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir d ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve \|CG\| = 2\|FG\| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir e ABC üçgeninde \|AG\| = 2\|GD\| ve \|CG\| = 2\|GF\| eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir 2 Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay \|AG\|=\|DC\|=\|BD\| 3 Kenarortayların Böldüğü Alanlar aKenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler bG ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür c G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür 4ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse \|AK\| = 3x \|KG\| = x \|GD\| = 2x eşitlikleri bulunur K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır [FE] //[BC]2[FE]=[BC] a ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur bKenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür 5 Kenarortay Uzunluğu ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğuna Va dersek Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa 6 Dik Üçgende Kenarortaylar A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında