|
Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği
Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği
BOOLEAN MATEMATİĞİ İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından gerçekleştirildi. BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin çıkış ifadelerinin giriş değişkenle ri cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen ifadenin en basit haline ulaşması için kullanılır. Bu bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır. DEĞİL,VE,VEYA,VEDEĞİL ve VEYADEĞİL kapılarının, BOOLEAN Matematiği ifadeleri . BOOLEAN matematiğinde temel kuralların ve kanunların uygulanması . BOOLEAN ifadelerinde DeMorgan teoreminin uygulanması . BOOLEAN ifadelerinden sayısal devrenin çizilmesi,bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilmesi . BOOLEAN ifadelerinin kanunlar ve kurallar yardımı ile sadeleştirilmesi . BOOLEAN ifadelerinin doğruluk tablolarından elde edilmesi ve BOOLEAN açılmları ve standart ifadeler.. . BOOLEAN açılımların birbirlerine dönüşümü. . Sayısal işlemler 4.1. BOOLEAN İŞLEMLERİ Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir. Bu bölümde temel Boolean işlemleri ve bunların sayısal devrelerde nasıl kullanıldığı anlatılacaktır. 4.1.1 BOOLEAN MATEMATİĞİ SEMBOLLERİ Boolean matematiğinde kullanılan değişkenler veya fonksiyonlar büyük harfler kullanılarak gösterilmiştir. Sayısal olarak bir değişken veya fonksiyon iki değer alabilir. Bu değerler 1 veya 0 olacaktır. Değişkenlerin veya fonksiyonların aldığı bu değerler sayısal devrelerde eğer “1” ise YÜKSEK gerilim seviyesi , “0” ise ALÇAK gerilim seviyesini gösterecektir. http://i101.photobucket.com/albums/m...nik/adsz-2.jpg A ve B girişlere uygulanan iki değişkeni gösterirse VE fonksiyonu Boolen ifadesi olarak ‘A.B’ şeklinde yazılırken, VEYA fonksiyonu için ‘A+B’ şeklinde yazılacaktır. 4.1.2 BOOLEAN TOPLAMA VE ÇARPMA Boolean toplamaya ilişkin temel kurallar aşağıda verilmiştir. http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz1-2.jpg 4.2. BOOLEAN KANUNLARI Boolen matematiğinin üç temel kanunu: Yer değiştirme kanunu( Commutative Laws), Birleşme kanunu (Associative Laws) ve Dağılma Kanunu (Distributive Laws) adını alırlar. YER DEĞİŞTİRME KANUNU( COMMUTATİVE LAWS) İki giriş değişkeni için Boolean toplamaya ait yer değiştirme kanunu aşağıdaki gibi yazılır http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz2-1.jpg BİRLEŞME KANUNU (ASSOCİATİVE LAWS) Boolean toplama işlemine ilişkin birleşme kanunu A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere aşağıdaki gibi yazılır. http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz3-2.jpg DAĞILMA KANUNU (DISTRIBUTIVE LAW) A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere dağılma kanunu aşağıdaki gibi yazılır. http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz4-2.jpg 4.3 BOOLEAN MATEMATİĞİ KURALLARI http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz5-2.jpg Kural 1- VEYA özdeşlikleri a) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “0” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır. Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur. b) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “1” ise , A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış daima “1” olur. c) Bir VEYA kapısının girişlerine değişkenin değili ile kendisi uygulanırsa çıkış A’nın durumu ne olursa olsun daima “1” olur. d) Bir VEYA kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır. Eğer A=0 ise çıkış “0”, =1 ise çıkış “1” olur. http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz6-2.jpg Kural 2- VE özdeşlikleri a) Bir VE kapısının girişlerinden biri “0” ise, A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış daima “0”olur. b) Bir VE kapısının girişlerinden biri “1” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır. Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur. c) Bir VE kapısının girişlerine değişkenin değili(tümleyeni) ile kendisi uygulanırsa çıkış A’nın durumu ne olursa olsun daima “0” olur. d) Bir VE kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır. Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur. http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz7-2.jpg Kural 3- Çift tersleme kuralı Bir Lojik ifadenin veya değişkenin iki defa değili alınırsa (terslenirse) lojik ifadenin veya değişkenin aslı elde edilir http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz8-2.jpg Kural 4- Yutma kuralı Bu kuralı dağılma kanunu ve VEYA, VE özdeşlikleri yardımı ile açıklayalım. Eğer ifadeyi A ortak parantezine alırsak aşağıdaki dönüşüm sağlanmış olur. http://i101.photobucket.com/albums/m...ik/adsz9-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz10-2.jpg Kural 5 http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz11-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz12-2.jpg Kural 6 http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz13-2.jpg Tablo 4.4’de girişlerin durumuna bağlı olarak ( A + B) . ( A + C ) ile A + B.C ifadelerinin durumları yazılmıştır. Bu iki ifadenin eşitliği tablodan görülebilir. <!-- icon and title --> Boolean Matematiği <!-- / icon and title --> <!-- message --> 4.4 DEMORGAN TEOREMLERİ http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz14-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz15-2.jpg |
Cevap : Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği
http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz16-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz17-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz18-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz19-2.jpg 4.5 SAYISAL DEVRE TASARIMI Boolean ifadesinden mantık kapıları arasında uygun bağlantılar yapılması ile sayısal devrenin elde edilmesi işlemine sayısal devre tasarımı adı verilir. Bu bölümde verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrenin çizimi ve sayısal devrelerden Boolean ifadesinin elde edilmesi anlatılacaktır. 4.5.1 BOOLEAN İFADESİNDEN SAYISAL DEVRELERİN ÇİZİLMESİ Bu kısımda verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrelerin çizilmesi anlatılacaktır. Devre tasarlanırken ilk önce Boolean ifadesinde kaç tane giriş değişken in olduğu, daha sonra bu değişkenlerin hangi Boolean işlemine uygulandığı bulunmalıdır. Çizim sırasında Boolean matematiği işlem sırası takip edilmelidir. İşlem sırası parantez ,DEĞİL,VE, VEYA şeklindedir. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz20-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz21-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz22-2.jpg 4.5.2 SAYISAL DEVREDEN BOOLEAN İFADESİNİN ELDE EDİLMESİ Çizilmiş bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilebilmesi için ilk önce kapı girişlerine uygulanan değişkenler belirlenir. Her kapı çıkışına ait Boolean ifadesi yazılır. Bu işlem devredeki en son kapıya kadar sürdürülür. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz23-2.jpg 4.6 BOOLEAN İFADELERİNİN SADELEŞTİRİLMESİ Çoğu zaman sayısal bir devre için elde edilen Boolean ifadesi uzun ve karmaşık olabilir. Devreyi bu haliyle tasarlamak işlemin maliyetinin artmasını ve hata yapma olasılığını beraberinde getirmektedir. Boolean teorem, kural ve kanunular yardımı ile ifadeler sadeleştirilerek daha az sayıda mantık kapısı ile sayısal devreler tasarlanabilir. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz24-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz25-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz26-2.jpg 4.7. BOOLEAN İFADELERİNİN ELDE EDİLMESİ Bir doğruluk tablosu tasarımcı tarafından sayısal devrenin çalışmasına yönelik oluşturulmuş ve giriş değişkenlerinin durumuna bağlı olarak çıkışın ne olması gerektiği anlatan tablodur. Tasarım aşamasında en önemli işlemlerden biri olan doğruluk tablosunu oluşturduktan sonra ifadenin mantık kapıları ve bu k apıların birbirleriyle olan bağlantılarının elde edilebilmesi için tablodan Boolea n ifadesinin elde edilmesi gerekmektedir. Önceki kısımlarda bu ifadelerin sadeleştirilmesi ve devrelerin çizilmesi anlatıldı. Bu bölümde Boolean ifadelerinin doğruluk tablosundan elde edilmesi konusu anlatılacaktır. 4.7.1. BOOLEAN AÇILIMLARI VE STANDART FORMLAR Boolean ifadeleri fonksiyonun doğruluk tablosundan elde edilen iki temel açılımdır. Bu ifadeler eğer bir sadeleştirme işlemi uygulanmazsa az sayıda değişken içermesi ender olarak karşılaşılan bir durumdur. Boolean ifadelerinin yazıldığı iki temel açılım minterimlerin toplamı ve maxterimlerin çarpımı olarak gösterilebilirler. 4.7.1.1 MİNTERİM VE MAXİTERİM http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz27-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz28-2.jpg Üç değişkenin alabileceği sekiz (23) durum olduğundan 0’dan 7’ye kadar olan onluk sayıların ikilik karşılıkları, yazılabilecek durumları vermektedir. Her bir değişken ikilik sayıda eğer “0” ise değili “1” ise değişkenin kendisi yazılarak bulunur. Minimum terim Boolean ifadesini “1” yapan terimdir.Her bir minimum terim mj şeklinde gösterilir. Burada j indisi ilgili ikilik sayının onluk karşılığıdır. Benzer biçimde n kadar değişken için değişkenin kendisi ve değili olmak üzere VEYA işlemini ile birleştirilmiş 2n kadar durum yazılabilir. VEYA işlemi ile birleştirilmiş bu durumlar ise maksimum terimler veya standart toplama adını alırlar. Üç değişkene ait maksimum terimler Tablo 4.6’da verilmiştir. Her maxterim üç değişkenin VEYA işlemi ile birleştirilmiş halinden elde edilir ve burada ikilik sayıda değişken 0 ise değişkenin kendisi, 1 ise değişkenin değili yazılarak bulunabilir. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz29-2.jpg |
Cevap : Sayısal (Dijital) Elektronik - Boolean Matematiği
4.7.1.2. MİNİTERİMLERİN TOPLAMI Bir önceki konuda n sayıda değişkene ait 2n sayıda minimum terim yazılabileceğini
ve bu minimum terimlerin fonksiyonu ‘1’ yapan terimler olduğu anlatılmıştı. Boolean fonksiyonunu minterimlerin toplamı (çarpımların toplamı) cinsinden ifade edebilmek için fonksiyonun ‘1’ olduğu her durum için minimum terimler bulunur. Bulunan bu minimum terimler VEYA’lanarak fonksiyon minterimlerin toplamı(çarpımların toplamı) cinsinden yazılabilir. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz30-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz31-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz32-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz33-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz34-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz35-2.jpg <!-- / message --> 4.7.1.3. MAXİTERİMLERİN ÇARPIMI http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz36-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz37-2.jpg Şeklinde fonksiyon verilebilir. ∏ sembolü parantez içindeki maxiterimlere VE işleminin uygulanacağını gösterirken, çıkış ifadesini (Q) takip eden parantez değişkenleri (A,B,C) göstermektedir. Boolean fonksiyonların maxterimlerin çarpımı (toplamların çarpımı) olarak ifade edebilmek için fonksiyonu VEYA terimleri haline getirmek gerekir. Bu işlem: (A+B).(A+C) = A+B.C dağılma kanunu kullanılarak gerçekleştirilir.Daha sonra her bir VEYA teriminde eksik değişken varsa , A eksik değişkeni göstermek üzere terim,http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz38-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz39-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz40-2.jpg http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz41-2.jpg 4.7.1.4 BOOLEAN AÇILIMLARININ BİRBİRLERİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ İki temel Boolean açılımda kullanılan minterim ve maxterimler ifade ediliş bakımından birbirlerinin tümleyeni olduğu görülebilir. Bunun nedeni fonksiyonu ‘1’ yapan terimlere ait minimum terimler bulunurken, fonksiyonu ‘0’ yapan minimum terimlerin tümleyeninin fonksiyonu ‘1’ yapmasıdır. Örneğin : http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz42-2.jpg Boolean açılımlarının birbirleri arasındaki dönüşümde; I - Dönüşüm işlemine göre a) Eğer minterimden maxterime dönüşüm isteniyorsa ∑ sembolü ile ∏ sembolü ile değiştirilir. b) Eğer maxterimden minterime dönüşüm isteniyorsa ∏ sembolü ile ∑ sembolü ile değiştirilir. II - Fonksiyonda sayılar seklinde verilen terimlerin yerlerine fonksiyonda bulunmayan sayıları yazılır. adımları takip edilebilir. Örnek : Aşağıda minterimler cinsinden verilen fonksiyonu maxterimler cinsinden yazınız. Q(x,y,z,w)=∏(0,2,3,7,9,11,12,13,15) Çözüm: Dönüşüm işlemi maxterimden minterime olduğuna göre ∏sembolü ∑ sembolü ile yer değişecektir. Fonksiyonda olmayan sayılar yazılarak dönüşüm işlemi tamamlanmış olur. Q(x,y,z,w)= ∑ (1,4,5,6,8,10,14) 4.7.1.5. STANDART İFADELER Boolean fonksiyonların elde etmenin bir diğer yolu standart formlardır. Bu formda fonksiyonu oluşturan terimler değişkenlerin tamamı içermetebilir. İki temel tip standart form vardır, çarpımların toplamı (Sum of Product-SOP) ve toplamların çarpımı (Product of Sum-POS). Çarpımların toplamı formu, bir veya daha fazla değişkenden oluşan çarpım terimleri olarak adlandırılan VE terimlerinden oluşmuş Boolean ifadesi gösterimidir.Toplam, elde edilen VE terimlerinin VEYA ’landığını göstermektedir.Bu forma bir örnek aşağıda gösterilmiştir. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz43-2.jpg 4.7.2 DİĞER SAYISAL İŞLEMLER n kadar değişkene sahip bir Boolean fonksiyonu için 2n olası durum yazılabildiği için,2n n kadar değişken için yazılabilecek fonksiyon sayısı n=2 olduğundan yazılabilecek fonksiyon sayısı 16’dır. 2 kadardır. İki değişken için X ve y gibi iki değişkene ait yazılabilecek 16 fonksiyona ait doğruluk tabloları Tablo 4.7’de verilmiştir.Tabloda F0’dan F15’e kadar olan 16 sütündan her birisi x ve y değişkenlerinden oluşan fonksiyonlardan birinin doğruluk tablosunu gösterm ektedir. Fonksiyonlar F’in alabileceği 16 durumdan elde edilmiştir. Fonksiyonların bazılarında işlemci sembolü vardır. Örmeğin F1, Ve işlemine ilişkin doğruluk tablosunu vermektedir ve işlem sembolü “.” olarak verilmiştir. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz44-2.jpg Tablo 4.8 doğruluk tablosu verilen 16 fonksiyona ait Boolean ifadelerini göstermektedir. Boolean ifadeleri en az sayıda değişken içerecek biçimde sadeleştirilmiştir. Tabloda görülen fonksiyonların bir bölümü (VE,VEYA,DEĞİL vb.) Boolean işlemcileri ile ifade edilebilmelerine rağmen diğer fonksiyonları n ( Özel VEYA, x değil ve y vb.) ifade edilebilmeleri için özel işlem sembolü kullanılmıştır. Özel-Veya işlemi dışındaki işlem sembolleri tasarımcılar tarafından pek kullanılmaz. Tablo 4.8’da verilen 16 fonksiyon üç ana gurupta incelenebilir: I. İki fonksiyon ‘0’ veya ‘1’ gibi bir sabit üretir. II. Dört fonksiyon tümleyen ve transfer işlemini verir. III. On fonksiyon VE,VEYA,VEDEĞİL,VEYADEĞİL,Özel-VEYA, Özel-VEYA DEĞİL, engelleme ve içerme olmak üzere sekiz işlemi gösterir. http://i101.photobucket.com/albums/m...k/adsz45-2.jpg İkilik bir fonksiyon sadece ‘1’ veya ‘0’ değerlerini alabilir. Tümleyen fonksiyonu ikilik değişkenlerden (x ,y) her birisinin tümleyenini(x’,y’) verir. Girişin değişkenlerinden birine eşit olan fonksiyona transfer fonksiyonu denir. Engeleme ve içerme işlemleri sayısal tasarımcılar tarafından kullanılsada bilgisayar mantığında nadiren kullanılr. VE,VEYA,VE değil,VEYA değil,Özel-VEYA ve Özel-VEYA değil işlemleri sayısal sistemlerin tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır. |
Powered by vBulletin®
Copyright ©2000 - 2025, Jelsoft Enterprises Ltd.