ForumSinsi - 2006 Yılından Beri

Aritmetiğin temel işlemleri toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir. Bu "dört işlem" ansiklopedinizde ayrı birer madde olarak ele alınmıştır. Aritmetiğin temel kavramlarını ve hesaplama yöntemlerinin bazı özelliklerini bu maddede, konuyla ilgili öbür bilgileri de KESİRLER, MATEMATİK veOndalik Sayilar maddelerinde bulabilirsiniz.

Dört işlem birbirinden ne kadar ayrı gibi gözükse de aralarında çeşitli bağlantılar vardır. Hesap yaparken ya da hesapların doğruluğunu sınarken bu bağlantılardan yararlanılabilir. Nitekim toplama ve çıkarma işlemleri birbirinin "karşıtı" ya da tersi olduğundan, bu iki işlem arasında çok açık bir bağlantı söz konusudur, örneğin 12 ile 5'i toplayınca 17, 17'den 5'i çıkarıncagene 12 bulunur. Bu işlemler şöyle gösterilebilir:

12+5=17
175=12
Bu işlemde rakamların yeri değişse bile sonuç değişmez. 5 ile 12'nin toplamı gene 17, 17'den 12 çıkarıldığında sonuç gene 5'tir. Demek ki bu ilişkiyi gösteren iki "aritmetik cümlesi" daha yazılabilir:
5+12=17
1712=5
Çarpma ile bölme işlemleri arasında da aynı bağlantı vardır. Örneğin aşağıdaki dört aritmetik cümlesinde görüldüğü gibi bu iki işlem de birbirinin tersidir ve rakamlar yer değiştirdiğinde sonuç değişmez:
4x3=12
12:3= 4
3x4=12
12:54=3
Aslında bir bölme işlemi yaparken bu problemi bir çarpma işlemine dönüştürmek herkese daha kolay gelir. Sözgelimi 24^3'ün kaç ettiğini bulmak için genellikle içimizden "Kaç kere üç 24 eder?" diye sorarız. Bu sorunun sayılarla yazılışı
?x3=24
olduğuna göre, demek ki
24:3=?
sorusu da aynı sonuca götürür.
Çarpım tablosu'na eğitimde çok önem verilmesinin nedenlerinden biri, bu tablonun yalmz çarpma değil bölme işlemlerinde de kullamlabilmesidir. Üstelik bu tablodaki çarpımların hepsini tek tek ezberlemek gerekmez. Çünkü
7X8=56
olduğunu biliyorsanız
8x7=56
olduğunu da biliyorsunuz demektir. Buna çarpma işleminin değişme özelliğidenir. Bu özellik nedeniyle, çarpılan iki sayı (çarpanlar) yer değiştirdiğinde sonuç (çarpım) aynıdır.
Diyelim ki 7 kere 8'in kaç ettiğini bilmiyorsunuz, ama 7x4=28 olduğunu biliyorsunuz. Bu bilgiden yararlanarak 7 x 8'in kaç ettiğini nasıl bulursunuz? Elbette 28'in iki katını alarak. Neden böyle yapıldığını açıklamanın bir yolu, aynı işlemi aşağıdaki gibi yazmaktır: 7x8=7x(4x2)
Bu durumda eşitliğin sağ yamndaki gösterimi

(7x4)x2 biçimine dönüştürebiliriz. Çünkü üç sayıyı birbiriyle çarparken işleme ister ilk iki çarpanla, ister son iki çarpanla başlansın sonuç değişmez. Buna çarpmanın birleşme özelliği denir. Bu terimin seçilmesindeki neden, 7x4x2 gibi üç çarpanlı bir işlemde ortadaki 4 çarpanının 7 ya da 2 ile birleşerek işlemi başlatabilmesidir. (Toplama işlemi de tıpkı çarpma işlemi gibi hem değişme, hem birleşme özelliği taşır. Buna karşılık çıkarma ve bölme işlemlerinde bu özelliklerin ikisi de yoktur.)
Çarpma işleminin başka bir özelliği de toplama üzerine dağılma özelliğidir. Örneğin 3x14 işleminde bu özellikten nasıl yararlanılacağını inceleyelim. 14 sayısı 10+4 biçiminde de yazılabileceğine göre, 3x10 ile 3x4'ü ayrı ayrı hesaplayıp sonuçlannı toplayabiliriz: 3xl4=3x(10+4)
=(3xl0)+(3x4) =30+12=42
Akıldan hesap yapmayı kolaylaştıran bu yöntem, kâğıt ve kalemle çarpma yaparken uygulanan çeşitli yöntemlerin de temelidir.
Sayıların birçok ilginç özelliği vardır ve hesap yaparken çoğu işe yarar. Örneğin aşağıdaki bütün toplama işlemlerinin sonucu 85'tir:
36+49, 37+48, 38+47, 39+46, 40+45,..
Demek ki 99+67 yerine 100+66 işleminin sonucunu arayarak bu toplamayı kolayca yapabiliriz.
Aynı biçimde aşağıdaki çıkarma işlemlerinde de sonuç hep 34'tür:
7743, 7642, 7541, 7440,..
Öyleyse 9936 yerine 10037 işlemini çözerek, aranan sonucun 63 olduğunu daha kolay bulabiliriz.
Sayılar arasındaki ilişkilerin bilinmesine dayanan bu "hesap oyunları" akıldan hesap yapmayı çok kolaylaştırır.