Tek Ve çift Fonksiyonlar
 

Tek ve çift fonksiyonlar :


Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ; f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;
y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.
Örnek 36: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
= -sinx -3x +x3
= -(sinx +3x -x3)


= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.
Örnek 37: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
= x2 + 4 -cosx
= f(x) olduğundan çift fonksiyondur.


Örnek 38: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?

Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.
Örnek 39: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir. Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir. Örnek 40: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.
Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur. Periyodik fonksiyonlar :


Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir. Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.
Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur. Örnek 41: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.
Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve ( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır ( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ) buradan t = 5/2 bulunur. f (x) fonksiyonunun periyodu t ise f (ax+b) fonksiyonunun periyodu http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1193f2q6ktgc olur.
Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik. f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.


Örnek 42 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,

g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.
Trigonometrik fonksiyonlardan sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ;
tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise  ‘dir.
Örnek 43 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1194cbm5nrhd ve
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1195ctck39n4olduğundan
f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan  ‘ dir. Örnek 44 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1196frkp5qdq buluruz.
Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ; sin 8x fonksiyonunun periyodu http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1197dgbgvphrve
sin 2x fonksiyonunun periyodu ise http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1194cbm5nrhdolur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1198grbknvdg olur.
Örnek 45 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan
http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1199c3rfc3hk olur.
Bu nedenle http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1200gt9mhcfbolur.
f(x) fonksiyonu da http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1201hd35vwgv
olacağından periyodu da http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1202fhchtbdg bulunur.
Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_120378sp33cr,
k sayısı tek ise http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1204g6xzcrgt;
tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları
k sayısı ne olursa olsun http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_120378sp33cr‘dır.
Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1205cw2gdhdc’ dir de diyebiliriz . Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü : f (x) ve g (x) fonksiyonları için h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ; h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ; h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ; h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir. Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.


Örnek 46 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.

Çözüm : Tanım kümesi = A  B = {-1,2,3} olur.
h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan h (-1) = -3 h ( 2) = 12 h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur. Örnek 47 : f : A  B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve
g : C  D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz . Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir.
h (1) = 5f (1) = 10 ; h (2) = 5f (2) = 15 ; h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.
TERS FONKSİYON f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1206cb8r7fcv

Uygun koşullarda, f(a) = b  f – 1(b) = a dır.
f : IRIR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1207w8vvjcg7dır.

http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1208d752vpfx
(f – 1) – 1 = f dir.
(f – 1(x)) – 1 f(x) tir.
y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
B IR olmak üzere,
http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1209cz5b83cq
B  IR olmak üzere,
http://docs.google.com/File?id=dhmq7ww9_1210hgmjz8cn

BİLEŞKE FONKSİYON


1. Tanım

f : A  B
g : B  C
olmak üzere, gof : A  C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog gof
Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.
ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
iv) fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.