Dirac Denklemi
 

Dirac denklemi

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi,
http://upload.wikimedia.org/math/6/8...557ff2bb5a.png şeklinde ifade edilebilir. Burada;
m_0 : parçacığın durağan kütlesini,c : ışık hızını,pμ : dörtmomentumu,γμ : Dirac matrislerini göstermektedir. Ayrıca Ψ, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristirdalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır: ve olasılığın
http://upload.wikimedia.org/math/9/b...3a0a8bac8d.png Buradaki Ψ + ve Ψ − , Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. Ψ + dönücüsü, pozitif enerjileri, Ψ − negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da
http://upload.wikimedia.org/math/1/7...9f3caeb901.png ve http://upload.wikimedia.org/math/a/a...962a7cd259.png olarak tanımlanır. ψ yukarı dönü ve φ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;
http://upload.wikimedia.org/math/8/d...40927aaa84.png şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde μ = 0 bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;
http://upload.wikimedia.org/math/3/f...23e7d5be95.png biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere
http://upload.wikimedia.org/math/3/2...f156ad5a56.png ve http://upload.wikimedia.org/math/c/5...eefa973651.png olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,
http://upload.wikimedia.org/math/c/1...66aece316f.png biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:
http://upload.wikimedia.org/math/c/a...296e18be0b.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/7/9...04384bc671.png Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:
http://upload.wikimedia.org/math/4/a...9f5b06ad4d.png Burada p0c = E = mc2 ve http://upload.wikimedia.org/math/1/f...5288ac6b66.png olduğundan ifade,
http://upload.wikimedia.org/math/f/8...fa4a30d34a.png şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:
http://upload.wikimedia.org/math/5/e...df6684fa4c.png denklem,
http://upload.wikimedia.org/math/6/5...39676eedaf.png biçimine gelir. Buradaki Aμ, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.