5 ve 6 Değişkenli Büyük Karnaugh Haritaları
 

5 ve 6 Değişkenli Büyük Karnaugh Haritaları


Büyük Karnaugh haritaları büyük mantık tasarımlarını indirger. Ne kadar büyüklük yeteri kadar büyüktür? Bu mantık devresine olan girdi sayısına ve girdi yelpazesine bağlıdır. Büyük programlanabilir mantık şirketlerinden birinin bir cevabı var.
Altera'nın müşteri tasarımları kütüphanesinden çıkan kendi verileri, farklılık değerini destekler. Mantık konilerini inceleyerek, onları LUT-bazlı düğümlere eşleyerek ve onları her düğümde en iyi olacak şekilde girdi sayısına göre dizerek, Altera iki ve altı arası girdi için girdi yelpazesinin dağılımının yaklaşık olarak düzgün olduğunu ve beş girdi için güzel bir tepe yaptığını buldu.
Cevap, bütün tasarımların çoğu için altıdan fazla girdi olmaması ve ortalama mantık tasarımı için beş girdi olmasıdır. Beş değişkenli Karnaugh haritası şöyledir:
http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14150.png
Yukarıda, beş değişkenli K-haritasının eski sürümü olan bir Gray Kodu haritası veya yansıma haritası gösterilmiştir. Haritanın üstü (ve 6-değişkenli harita için köşesi) tamamen Gray kodu ile numaralandırılmıştır. Gray kodu yaklaşık olarak kodun ortasından yansır. Bu stildeki harita eski kitaplarda bulunur. Tercih edilen yeni stil aşağıdadır.
http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14151.png
Yukarıda gösterilen katmanlı Karnaugh haritası, yukarıdaki 3-bit adresin en anlamlı biti haricinde iki (6-değişkenli harita için dört) eşit haritadır. Haritanın tepesine bakarsak numaralandırmanın önceki Gray kodu haritasından farklı olduğunu görürüz. 3-basamaklı sayıların en anlamlı basamağını ihmal edersek, 00, 01, 11, 10 dizisi katmanlı haritanın her iki alt haritasının başlığı olur. Sekiz adet 3-basamaklı sayının dizisi bir Gray kodu değildir. Fakat en az anlamlı iki bitin dört tanesinin dizisi bir Gray kodudur.
5-değişkenli Karnaugh haritasını kullanalım. 5-bitlik (A, B, C, D, E) ikili girişi olan bir devre tasarlayın, A burada MSB (En Anlamlı Bit(Most Significant Bit)) dir. Giriş verisinde algılanan herhangi bir asal sayı için Yüksek mantık çıkışı üretmelidir.
http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14152.png
Referans olması için çözümü yukarıda eski Gray kod (yansıma) haritası üzerinde gösteriyoruz. Asal sayılar (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31) dır. Karşılık gelen her bir hücreye 1 yerleştirin. Sonra hücrelerin gruplandırmasıyla devam edin. Sadeleştirilmiş sonucu yazarak bitirin. Dört hücreli A'B'E grubunun ayna hattının her iki tarafında iki çift hücreden oluştuğuna dikkat edin. Aynısı 2-hücreli AB'DE grubu için de geçerlidir. Bu ayna hattı etrafında yansıtılan 2-hücreli bir gruptur. K-haritasının bu biçimini kullanırken haritanın diğer yarısında ayna imajlarını arayın.
Çıkış = A'B'E + B'C'E + A'C'DE + A'CD'E + ABCE + AB'DE + A'B'C'D
Aşağıda 5-değişkenli haritanın en genel biçimi olan katmanlı(bindirmeli(overlay)) haritayı gösteriyoruz.
http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14153.png
İki haritayı karşılaştırırsak, sağ taraftaki haritadaki bazı hücreler yer değiştirmiştir çünkü haritanın üzerindeki adresleme farklıdır. Haritanın iki yarısı arasındaki ortak noktaları belirlerken farklı bir yaklaşım ele alırız. Haritanın bir yarısını diğerinin üzerine bindiririz. Yukarıdaki haritadan aşağıdaki haritaya olan herhangi bir kesişme potansiyel bir gruptur. Aşağıdaki şekil AB'DE grubunun iki hücre yığınından oluştuğunu gösterir. A'B'E grubu iki hücre çiftleri yığınından oluşur.
4-hücreli A'B'E grubu için ABCDE = 00xx1. Yani bu grup için A,B,E sırasıyla 001 e eşittir. Ve, CD=xx yani değişir, 4-hücreli grup için CD=xx de bir benzerlik yoktur. ABCDE = 00xx1 olduğundan dolayı 4-hücreli grup A'B'XXE = A'B'E tarafından kapsanır.
http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14154.png
Yukarıdaki 5-değişkenli bindirmeli harita yığındı olarak gösterilmiştir.
Sırada altı değişkenli bir Karnaugh haritasının örneği var. Çıkış = C'F' e karşılık gelen 4-hücreli grubu görmek için dört alt haritayı hayali olarak yığınladık.

http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14159.png
Bir büyüklük karşılaştırıcısı (6-değişkenli K-haritasını göstermek için kullanılır) iki ikili sayıyı karşılaştırır ve üç çıkışından bu sayıların eşit olup olmadığı ve birinin diğerinden büyük veya küçük olduğunu gösterir. Üç bitlik bir büyüklük karşılaştırıcısının iki girişi vardır, A2A1A0 ve B2B1B0. Entegre devre büyüklük karşılaştırıcısının (7485) gerçekte dört girişi olur fakat aşağıdaki Karnaugh haritası belli bir büyüklükte tutulmalıdır. Biz sadece A>B çıkışı için çözüyoruz.
Aşağıda 6-değişkenli bir Karnaugh haritası 3-bitlik bir büyüklük karşılaştırıcının mantık sadeleştirmesine yardımcı olur. Bu birdirmeli tip bir haritadır. Haritanın üstünde ve soldaki yukarıdan aşağıya ikili adres kodu tamamen 3-bitli Gray kod değildir. Buna rağmen dört adet alt haritanın 2-bitli adres kodu Gray koddur. Dört alt haritayı birbiri üstüne koyarak fazla ifadeleri bulunuz (yukarıda gösterilmiştir). Her dört harita için ortak olan hücreler olabilir, fakat aşağıdaki örnekte bu yoktur. Alt harita çiftleri için ortak olan hücreler vardır.
http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14160.png
Yukarıdaki A>B çıkışı aşağıdaki harita üzerinde ABC>XYZ dir.
http://akademi.tubisad.org.tr/librar...html/14161.png
ABC nin XYZ den büyük olduğu yerlerde 1 konur. İlk sırada ABC=000 XYZ nin herhangi bir değeri için ondan büyük olamaz. Bu çizgide hiç 1 yoktur. İkinci çizgide ABC=001 sadece ilk hücre ABCXYZ= 001000 için ABC XYZ den büyüktür. İkinci çizginin birinci hücresine tek bir 1 girilir. Dördüncü çizgide ABC=010 bir çift 1 vardır. Üçüncü çizgide ABC=011 üç tane 1 vardır. Böylece ABC nin XYZ den büyük olduğu her bir hücre 1 lerle doldurulur.
Hücreleri gruplandırırken mümkünde komşu olan alt haritalarla grup oluşturun. 16-hücreli bir grubun biri haricinde hepsi alt harita çiftlerinden hücreler içerir. Aşağıdaki grupları arayınız:

• 16-hücreli 1 grup
• 8-hücreli 2 grup
• 4-hücreli 4 grup

16-hücreli AX' grubu sağ alttaki alt haritanın tamamını işgal eder; fakat onu şekil üzerinde göstermiyoruz.
8-hücreli bir grup yukarıdaki alt haritada bulunan 4-hücreli bir grup ve altındaki soldaki benzer bir gruptan oluşur. 8-hücreli ikinci grup birbirine benzer 4-hücreli gruplardan oluşur, bu gruplardan biri sağdaki alt haritada diğer alt soldaki haritada bulunur.
4-hücreli dört grup karşılık gelen çarpım terimleriyle birlikte yukarıdaki Karnaugh haritasında gösterilmiştir. 8-hücreli iki grubun çarpım terimleri ve 16-hücreli bir grup Çarpımlar-ın-Toplamı son indirgemesi gösterilmiştir, bunların hepsi yedi terim yapar. Haritadaki 1 leri sayarsak toplamda 16+6+6=28 adet bir vardır. K-haritası mantık indirgemesinden önce SOP çıktımızda her biri 6-giriş olan 28 çarpım terimi olacaktır. Karnaugh haritası dört yada daha az girişli yedi çarpım terimi verir. Bu da Karnaugh haritalarının ne olduğunu bize gösterir!
Kablolama diyagramı burada gösterilmemiştir. Fakat burada 4 TTL mantık ailesini kullanarak ABC>XYZ için 3-bitli büyüklük karşılaştırıcısının malzeme listesi verilmiştir:

• 1 tane 7410 Üçlü 3-girişli NAND geçidi AX', ABY', BX'Y' olan
• 2 tane 7420 İkili 4-girişli NAND geçidi ABCZ', ACY'Z', BCX'Z', CX'Y'Z' olan
• 1 tane 7430 7-Çarpım-teriminin çıkışı için 8-girişli NAND geçidi

• ÖZET:
• Boole cebri, Karnaugh haritaları ve CAD (Tasarım Amaçlı Bilgisayar (Computer Aided Design)) mantık sadeleştirme metotlarıdır. Mantık sadeleştirmenin amacı en az maliyetli çözümü bulmaktır.
• En az maliyetli çözüm en az sayıdaki girişe sahip en az sayıdaki geçide sahip geçerli bir mantık indirgemesidir.
• Venn diyagramları Boole ifadelerini görüntülememizi sağlar, böylece Karnaugh haritalarına geçişi kolaylaştırır.
• Karnaugh haritası hücreleri Gray kod sırasıyla organize olmuştur, böylece sadeleştirme sonucunda oluşan Boole ifadelerinde fazlalıkları görebiliriz.
• Daha çok rastlanan Çarpımlar-ın-Toplamı ifadeleri (Mintermlerin Toplamı) tek bir OR geçidini (toplam) besleyen AND geçitleri (çarpımlar) gibi uygulanır.
• Çarpımlar-ın-Toplamı ifadeleri (AND-OR mantığı) bir NAND-NAND uygulamasına eşdeğerdir. Tüm AND geçitleri ve OR geçitleri NAND geçidiyle yer değiştirilir.
• Daha az kullanılan Toplamlar-ın-Çarpımı ifadeleri tek bir AND geçidini (çarpım) besleyen OR geçitleri (toplamlar) gibi uygulanır. Toplamlar-ın-Çarpımı ifadeleri bir Karnaugh haritasındaki maxtermler olan 0 lara dayanır.