ForumSinsi - 2006 Yılından Beri - Matematiksel Modelleme (Tez Konusu)

Matematiksel Modelleme Becerilerinin Tanımlanması ve Öğretimi

Birçok şirket ve hükümet modelleme ve simülasyonu kullanmaya başladılar. Bu sebepten dolayı Avrupa ve Amerika’da “Matematiksel Modelleme” terimi içeren dersler çoğalmıştır. En önemli soru ne ve nasıl dersler öğrenciye öğretilecek? Matematiksel Modelleme terimi, bütün modelleme sürecini açıklamasına karşın başlangıçta bir problemin matematiksel formülasyonuna ulaşma şeklinde daha sınırlı bir süreci açıklamak için kullanılacaktır.

2. Matematikçi Gözüyle Matematiksel Modelleme:
Öğretilen matematik, matematiğin uygulanmasından farklıdır.
Bu cümle sınıflarda matematiğin popüler olmamasının sebeplerinden birisidir. Modellemeyi öğretme ne uyguladığını öğreterek düzeltmeye çalışır. İki farklı okul tipi vardır: Platonist ve Formalist. Birçok matematikçi herhangi birinde yer alabilir. Platonistler, matematiğin keşfedilmesini bekleyen sonsuz kuralları içerdiğine inanırlar. Bu kurallar insanlıktan bağımsız olarak vardır. Formalistlerin inanışına göre insanlık tarafından bilgiyi içermesi ve dünyayı tarif etmek için kullanılır. Bir çok matematikçi platonist olduklarını söylerler fakat formalistleri uygularlar. Bu modelleme sürecine göre kendisini daha okunabilir kılan formal bir bakış açısıdır.
İyi bir modellemeci önemli becerilere sahip olmalıdır.Bu makalede bu becerilerin kesinlikle ne olması gerektiği belirlenmiş ve onları öğretmenin farklı yolları incelenmiştir. Bu yapılmadan önce modelleme sürecindeki safhalar tanımlanmalı ve açıklanmalıdır.

3. Modelleme Süreci:
3.1. Problemin Analizi:
Bu safhada modelleyiciler problemin arka planını ve sonuçların nasıl kullanılacağını araştırır. Her modelleme bu amaç için oluşturulur. Bu amaç ile ilgili olarak açık olması gereklidir. Vatandaş mevcut bütün bilgiyi ve herhangi veri ve yada parametreleri eksiksiz ve biçimsel olan tüm bilgiyi araştırmalı ve keşfetmelidir. 0,8 yere göre modellemenin planlanmasının ayarlanması eğer data aynı seviyede değerlendirilirse anlamlı olur. Gereken beceriler makaleleri ve kitapları araştırmak, anket yapmak, anlamak ve ayrıcalıklı dinlemektir. Bunlar matematiksel teknik olarak gereklidir. Bu safhanın sonucu problem için amaçların ve objektiflerin bir kümesidir.

3.2. Problem Belirleme :
Bu aşamada matematiksel modelleme becerisi gerektirir. Problemin matematiksel tarifi elde edilir. Bu becerilerin öğretimi ve tanımlanması bu makalenin ana konusudur.

3.3. Model Analizi:
Endüstriyel ve ticari modellemede genellikle karmaşıktır ve çözümü için fazla zaman gerektirir. Böylece çözmeden önce denklemlerin doğru oluşturulması gerekmektedir. Bu durumda kesin olamayız fakat burada yapılabilen kesin testler olabilir. Mesela Steady States, Phase-plane analize bakarak özel durumlara, değerlere ve parametrik yorumlara bakılarak yapılabilir. Buradaki beceriler oldukça özeldir ve matematiksel olarak terimlendirilir.
Bu şamadaki beceriler tamamen matematikseldir. Problemin doğru çözümünü elde edebilmek için uygun teknikler seçilmeli ve doğru uygulanmalıdır. Bu beceriler matematiksel bilgi, yargılama, hesaplama yada program yapabilme kabiliyeti gerektirir.
Doğru geçerlilik çoğunlukla zordur ve bazen de imkansızdır. Genelde sonuçları karşılaştıracak gerçekler yoktur, birilerinin öngördüğü kavramlardır. Bu aşamada deneysel çalışma karmaşık ve sofistikedir, genellikle istatistiksel teknikler içerir. Bu aşamada diğerlerinin hepsinden daha yüksek matematiksel adım olması gerekir.

4. Modelsel Becerilerin Geliştirilmesi:
Matematik yapma süreci ve problem çözme süreci farklıdır. Modelleme sürecini tanımlayabilmek için iki farklı düşünme tarzı gerekmektedir: Dikey düşünme ve yatay düşünme. Dikey düşünme, her adımı bir öncekinin mantıksal olarak devamı olan lineer bir tarzdır. YES / NO sistemi ile bağlantılıdır. Yatay düşünmeyi, en güzel anayolda işleyen trafiğe benzer olarak gösterebiliriz. Bazen yan yolu kullanarak ve anayolu atlayarak hedefe ulaşmak daha kolaydır. Yani bazen standart olmayan yaklaşımla problem çözümüne ulaşmak daha kolaydır. Bu düşünmede YES / NO sistemine gerek yoktur. De Bono alternatif olarak yeni sistem oluşturmuştur. 4. ve 5. aşamalarda dikey düşünme gerektirirken diğer aşamalarda daha çok yatay düşünme gerektirir.Düşünme iki şamada oluşur: Algılama ve İşlem
Daha geleneksel matematiksel problemler için çözüm yolu ne kadar net ise o kadar az algılama gerektirir. Daha gerçekçi durumda ilk aşamalarda yanlış algılama ekstra çalışma gerektirebilir. Aslında başlangıçtaki algılama tamamen yanlış ise, yani büyük miktardaki doğru matematik durumu kurtarmaz. Yatay düşünme algılama aşaması ile ilişkili, dikey düşünme işlem aşaması ile ilgilidir. Biri diğerinden daha üstün değildir. Her iki düşünme için iyi bir modellemeci gerekir. İki beceri de gerekir ve iki düşünme biçimi de kullanılır.

5. Matematiksel Modelleme Becerileri:
Kabul edelim ki ilk safha tamamlansın. Problem analiz edilsin, amaçlar ve konular oluşturulsun. Şimdiki beceri bu amaçları ve konuları matematiksel forma dönüştürmektir. Probleme uygun genel denklemler yazılır ve hangi terimlerin tutulacağı ve hangilerinin atılacağı kararlaştırılır. Hangi özellikler bunu yaptırır. Bazı ihtimaller şunlar: Birçok yıl benzer durumlardan (modellerden) elde edilen tecrübe bu özel alanda onun uzman olması gerçeği yada doğru bir matematik için sezgisel bir his. İlginç bir tecrübe şu olacaktır: Bir matematikçiyi özel alanından ayırmak ve denklemleri nasıl elde edeceğini gözlemlemektir.

Değişkenin Tanımlanması:
Değişkenlerin tanımlanması, uzman görüşüne göre denklemdeki hangi terimlerin önemli olduğu yargısına karşılık gelir. Problemi etkileyen faktörler liste halinde yazılır. Her faktör belirlenir ve onun hakkında varsayım oluşturulur. Varsayım bu faktörleri ya ihmal eder yada o faktör bazı önemli özelliklere sahiptir. Bu metoda açık belirgin engel, birinin hangisini alacağına ve hangi özellikleri ihmal edeceğine karar vermesidir. Erken öğretim safhasında tavsiyemiz şudur: modeli olabildiğince basit tutmak gerekir ki böylece sadece gerekli olan terimler alınır. Modelin başının mümkün olduğunca basit ifade edilmesi aslında iyi bir tavsiyedir. .daha sonraki terimler safha safha tanıtılır. Zaman geçtikçe model daha gerçekçi hale getirilir. İlk başta detaylara önem vermeden kaba bir şekil oluşturan heykeltıraşlara benzetilebilir. Özellik listesinin avantajı bir şeyi öğretmektir. Öğrenciyi zanları hakkında dikkatlice düşünmesi için onu zorlar ve bunun olması için metodolojide net bir safha oluşturulur. Hangi değişkenlerin önemli olduğuna karar verme problemi açık değildir. Ama özellik listesindeki açıklar öğrenciye sistemli metotlar için alternatif bir yaklaşım kazanmayı ve aşağıdaki şekilde öğrenciyi zorlar.
Çıktılar girdilerin bir fonksiyonudur. Bu model için kullanışlı bir model bir çok yolla geliştirilebilir.

4.1.2: Denklemlerin Formüle Edilmesi:
Öğrenciler bu aşamayı en zor aşama olarak görürler. Formülasyon için oluşturulmuş metotlar yoktur. Böylece Sunderlant Polytechnic’te kullanılan iki metot tartışılır: İnput- Output prensibi.

Şimdiki zamanda değişkenlerin prensibi= Önceki zamanda değişkenlerin hesabı
+ Aralıkta oluşturulan miktar
- Aralıktaki göz ardı edilen miktar
+ Sistemde….

Modelleme Öğretimi İçin Uygulamalar
Beceriler öğretilebilir fakat iyi öğretim geliştirmek mi yoksa öğretme becerilerini kazandırmak mı? Becerinin sözlük tanımı kabiliyeti uygulayabilmektir. Böylece modelleme sınıfının önemli özelliği, öğrenciye matematiği uygulatmak değil öğrenci için uygun çevre sağlamaktır ve matematiğin dilini kullanarak program tanımlama sürecini uygulamaktır. Böylece bu zordur. En önemlisi öğrencinin yanlış yapmaktan korkmadığı atmosferi oluşturmaktır. Bunu yaparak öğretmen rehber olmalıdır. Dikey düşünme geleneğinde en iyi çözümler için kullanışlı atlama taşları gibi hatalar göz ardı edilir. Öğrencileri küçük gruplara bölmek bu atmosferi yaratmada yardımcı olur. Gruptaki herkesin söz hakkı vardır ve öğrenciler dinlemeyi ve arkadaşlarının düşüncelerine katılmayı öğrenirler. Gruplar sunma becerilerinin uygulandığı sık aralıklarda sınıfta rapor verirler. Öğrenciler özgürce düşünmeleri ve tartışabilmeleri için cesaretlendirilmelidirler. Problem grup üzerinde çalıştıktan sonra grubun çalışması sınıf önünde sırayla sunulur. Öğrencinin cevabı tek cevap(tek model) değildir. Problem modellemede bir doğru çözüm yoktur. Yayınlanmış ve çalışılan modeller hala yönlendiricidir. Buradaki bir problem modelleme aşamaları nadiren ifade edilir ve modelleme kağıtlarının çoğu denklemler formüle edildikten sonraki süreçle ilgilidir. Yayınlanmış modelleme kaynakları benim bulduklarım Kopernik, Newton, Einstein ve Bohr gibi ünlü bilim adamlarının biyografilerinde yer alır.
Şu açıktır ki farklı beceriler matematiksel beceri için burada uygulanır ve aynı yolla farklı değerlendirme prosedürlerine ihtiyacı vardır. İngiltere’de 3 saatlik resmi sınavlar testler için doğru kabul edilir. Bu THE, test etmek için doğru yoldur. Endüstride olduğu gibi modelleme yapanlar, akademisyenlerden daha çok elverdiğince bunu kabul ederler.
Modelleme dersinde nelerin test edileceği (test edilecek şeyler); model oluşturmadaki öğrencilerin kabiliyeti bunu eleştirmeleri ve modeli geliştirirken oluşan eleştirilere tepki göstermeleri test edilir. Son olarak bu yapılmalıdır fakat saatler değil haftalar boyunca sürmelidir. Öğrenci akranlarına danışabilir ve onların düşüncelerini kullanabilir.
Bunu belirlemek için birçok yol vardır. Değerlendirme verileri, tümgün açık kitap sınavlar yada sözlü sınavlar.
Modelleme dersinin planlanmasının ilk şamasında değerlendirme prosedürleri tam olarak tartışılır. 3 saatlik sınavın belirgin bir avantajı en az düzeyde kaynak kullanılmasıdır. Bu düşüncede direnilmelidir çünkü modele karar verince bütün yanlış yönleri etkin şekilde görülebilir.
Modelleme özel ödev prosedürleri gerektirir.
Sunderland Polytechnic bu alandaki araştırmada aktiftir ve yazar, herhangi bir konuda daha fazla iletişimle ilgilenecektir.

Alternatif 2

. Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme:

Mathematiksel modelleme, problem çözme sürecini içerir. Problem çözme, model aramadır. Problemler, somut araçlarla, sözcüklerle, sembollerle, resimlerle (şekil, grafik, vd görsel öğeler) biri veya birkaçı ile modellenebilir. Problem çözmede izlenecek adımlar, başta Piage olmak üzere çok sayıda matematikçi ve matematik eğitimcisi tarafından incelenmiş ve bulgular rapor edilmiştir.
. Bilgilerinin Dönüştürülmesi ve Kullanılması: Temel matematik bilgileri ve edinilen beceriler, başta fen bilimleri olmak üzere diğer alanlarda kullanılmakta; gözlemlenen olaylar ve olgular açıklanmaktadır. Bu süreçte matematikte edililen bilgi ve deneyimin diğer alanlar için gerekli yeterliklere dönüştürülmesi ve kullanılması temel eğitimin amaçlarından biri olup bunun gerçekleştirilmesi beklenir.
. Hesaplama Araçlarını Etkin Kullanma: Hesaplama araçlarından biri olan elektronik hesap makineleri, günlük yaşantımızda kağıt-kalem ile hesaplama yerine çok yerde (örneğin, işyeri, ev, pazar yerleri vd) kullanılmaktadır. Bunun başlıca nedeni, hesaplamanın, örneğin dört işlemin, daha hızlı ve doğru yapılmasıdır. Ancak, basit bir makine de olsa işlemlerin doğru yapılabilmesi için kullanan kişinin bazı beceriler edinmesi, elde ettiği sonucun akla yatkınlığı konusunda temel matematik bilgisinin olması gerekir.
. Matematiksel İletişim: Matematiğin kendine özgü bir anlatım dili ve biçimi, evrensel sembolleri ve işaretleri vardır. Matematiksel düşüncenin yansıtılması ve paylaşımı sözlü ve yazılı iletişim gerektirir. Bu süreçte özgün dil, kuralları uygun olarak kullanılır. Bu dilin, kavram ve kurallarıyla birlikte öğrenilmesi ve doğru kullanılması gerekmektedir.

Başka bir Alternatif

Matematiksel Modelleme

Babil medeniyetinden dikkatli ölçmeyi ve gözlem yapmayı öğrenen eski Yunanlılar, tabiatı, mantıklı analiz dizisi ile anlamaya uğraştılar. Aristo'nun oldukça inandırıcı olan söylemlerinden biri olan, "dünya düz değildir"'den esinlenen günün diğer felsefecileri, "o zaman dünyanın çapı nedir?" gibi sorular ile uğraşmaya başladılar. Hayret verici olan bir gelişme, Eratostenes'in bu ölçüyü oldukça yakın olarak bulmasıdır, hem de yaşadığı şehir olan İskenderiye'den dışarı ayak bile basmadan! Kullanılan yöntem bazı kestirmeler ve temel alınan birkaç varsayım içeriyordu. Dünya mükemmel bir küredir (olmasa da onun hesabı için bu uygundu), güneşin ışınları birbirine paralel olarak yol alır, Syene şehri İskenderiye'nin 5000 stadya (bir ölçü birimir) kadar güneyde yer alır, vs.. Bu varsayımlardan yola çıkarak, Erotostenes bir matematiksel dünya yarattı ve bu dünya üzerinde geometri'nin uygulanabilir olduğunu gördü!
http://www.bilgidata.com/localhost/i...zza_kulesi.jpg
Günümüzde, aynen Yunanlı bilginlerin yaptığı gibi, bilim adamları etrafımızdaki dünyayı daha pragmatik bir seviyede anlayabilmek ve akabinde teknik sorulara çözüm bulabilmek için, etrafımızdaki dünyayı matematiksel terimlerle temsil etmeye devam ediyorlar. Gerçeği matematiksel bir dil ile 'taklit etmeye' yardım eden bu işlem ve düşünce şekline, matematiksel modelleme adı veriliyor.
Bir problemi matematiksel terimler kullanarak göstermenin bazı yararları var. İlki, altında olduğumuz şartları öne sürmemizi ve tanımlamamız için bizi zorlaması, ki bu güzel bir şey. Gerçek dünyada olmakta olan problemler çetrefilli olduklarından, hangi değişkenlerin çözümümüz için önemli, hangisinin önemsiz olduğunu daha matematiksel uygulama başlamadan kararlaştırmak önemli. Bu seçim yapıldıktan sonra, genelde bazı kanunlar ve kuramlar kuruluyor ve bu varsayımlar, modelimizin idealleştirilmiş hali adı altında irdelenmeye başlanıyor.
Matematik'in en önemli yararı, mantıksal sonuçlara varabilmek icin elimizdeki varsayımlardan başlayarak bu formülleri değişimden geçirmemize yardım eden temel teknikler vermesi. Böylece elimize analiz yapabilmemiz için sağlam bir temel geçiyor, aradığımız sonucun ne olduğunu baştan tam kestirmesek bile, bu modelleme işlemi bize yolda yardım edecek araçlar sağlıyor.
Ayrıca matematiğin, bilgisayarlar tarafından sayısal cevaplar alınabileceği bir ortam sağlamasi da önemli bir avantaj.
Etkili matematiksel modeller kurmak oldukça yetenek isteyen bir iş, tasavvur ve tarafsız irdeleyebilme kabiliyeti gerektiriyor. Daha önceden kurulmuş olan öteki modelleri örnek olarak incelemek, modelleme sürecinin nasıl bir şey olduğunu hissetmek için yararlı olabilir. Revaçta modellemeyi öğreten çok güzel kitaplar ve makaleler var. Bu yazımızda bizim odaklanacağımız, birinci derecen türevsel denklem içeren matematik modelleri olacak. İzleyeceğimiz modelleme işleminin ana hatları şöyle olacak.
Problemi Formüllere Dök
Bu safhada amacımız bir formülü kurmak. Böylece cevabın matematiksel olarak 'bulunabileceğini' umuyoruz. Tabii bu işlem hem matematiği hem de problem alanını bilmemizi gerektiyor. Bu seviyede, matematikçi olmasa bile problem alanında uzman olanlar kimseler ile konuşmanız yararlı olabilir. Ayrıca problem alanını anlatan eserleri okumanız iyi olacaktır.
Modeli Geliştir
Burada yapılacak iki şey var. İlk önce hangi değişkenler önemli, hangiler değil ona karar vermeniz gerekiyor. Önemli olanların arasından, bazıları bağımlı bazıları bağımsız değişken olarak tanımlanacaklar. Önemsiz değişkenleri şöyle farketmeniz mümkün; modellenen süreç üzerinde hiç etkisi olmayan değişkenler sizin için önemli değildir ve atılabilir. Mesela, binadan aşağı düşen bir topun hareketini incelemek istiyorsanız, topun hangi renkte olduğu modeliniz için önemsizdir.
Bağımsız değişkenler modeli etkileyebilecek, modele giriş olarak verilebilecek değerlerden seçilir. Yere düşen cisim için, cismin şekli, kütlesi, başlangıç noktası, başlangıç hızı, ve hangi zamanda bırakıldığı bu tür bağımsız değişkenlerdendir. Bağımlı değişkenler, adı üzerinde, değerleri bağımsız değişkenlere bağlı olan fakat, gene de model için önemli olan değişkenlerdir. Yere düşen cisim için bunlar hız, katledilen mesafe, yere çarpma zamanı gibi değişkenler bağımlı değişkenler arasında sayılabilir.
İkinci yapmak gereken şey, bu değişkenler arasındaki bağlantıları bulmak (mesela birinci derece türevsel denklem kurarak). Bunu yapmak problem alanı hakkında bilgi ve vizyon gerektirir. Taslak bir modelle başlayabilirsiniz, ve testleriniz sonucunda modeli safileştirmek (rafine etmek) mümkündür. Mesela yukarıdaki örnek için başlangıçta sürtünme kuvvetini hesaba katmayabilirsiniz, fakat ileride daha net sonuçlar için sürtünmeyi modele eklemeniz gerekebilir.
Modeli Test Et
Modeli hemen test verileri ile 'doğrulamaya' uğraşmadan önce, şunlara tekrar göz atın.

* Varsayımlar akla yatkın mı? * Denklemler birim değerlerini doğru kullanıyor mu? (Mesela kuvvet değerlerini, hız değeri ile toplamak yanlış olur) * Model iç yapısı bakımından tutarlı mı? Yani, modeli oluşturan denklemler birbiri ile çatışma halinde mi? * Elimizde olan denklemler çözüm verebilecek nitelikte mi? * Çözümü bulmak, elimizdeki denklemler ile ne kadar zor olacak? * Çözüm, incelediğimiz probleme yardım edecek türden olacak mı?
Nüfus Artış Modeli
Bir ülkenin nüfus artışını nasıl tahmin edebiliriz? Eğer bir gurubun nüfus artışını tahmin etmek istiyorsak, bu gurubu her dış etkiden uzak izole bir kapalı kutu halinde düşünebiliriz. Bu kutu mesela biyolojide Petri tabağı denen bir ortam, ya da günlük hayatta bir ada olarak tanımlanabilecek bir ortam olabilir. Böylece nüfus artışını izole bir şekilde 'tek odada' incelememiz mümkün olacak.
Diyelim ki, p(t), t zamanında ölçülecek olan nüfusu veriyor olsun. Şimdi çoğalma (doğum) ve azalma (ölüm) hızlarını hesaplayalım.
Örnek olarak şöyle düşünelim, bir bakteri kendini ikiye bölerek çoğalır. Bizim modelimiz için de, büyüme hızının, o anki mevcut nüfusa oranlı olduğunu varsayalım. Bu varsayım bakterilerin büyüme şekli ile tutarlı. Büyüyecek yer ve yeteri kadar yiyecek olduğu sürece, bakteriler büyüyeceğini biliyoruz. Bir diğer varsayım da şöyle olsun, ölüm oranı sıfır. (Unutmayalım ki, hücre bölünmesinde ebeveyn hücre ölmez, iki hücre haline gelir). Yani bakteri nüfusu için bir model şöyle olabilir.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_1.gif
k1 > 0 olarak tasavvur edeceğiz. k1 büyüme oranı 'sabitidir'. p0, nüfusun t = 0 (yani başlangıçtaki) sayısıdır. Şimdi bakterilerden, insan nüfusuna gelelim. İnsan nüfusu için hiç ölmeme varsayımı tabii ki yanlış! Fakat, insanların sadece doğal sebeplerden öldüğünü varsayarsak, ölüm oranının da o anki nüfus sayısına orantılı olduğunu düşünebiliriz. Bu yüzden, ilk denklemi değiştirip, şu hale getiriyoruz.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_2.gif
k2 olarak nitelenen sabit, ölüm oranı olarak temsil edildi. k1'in her zaman k2'den büyük olduğunu farzedersek, asâgıdaki model çıkar.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_3.gif
Birçok k sabiti kullanılmış olması aklınızı karıştırmasın. Doğum ve ölüm oranlamaları değişik sabitler gerektiyor, ama önemli olan bir 'sabit' kullanıldığını farketmek. Sonuçta demeye çalıştığımız nüfus ile nüfus büyümesi arasında doğrusal bir bağlantı olması. Sabite ihtiyacamız da buradan geliyor.
Elimize geçen son formül, ünlü bir formüldür, Maltezyen ya da nüfus artışının üstel (exponential) kanunu olarak bilinir. Denklem ayırılabilir olduğu için, işlemden geçirip p fonksiyonunu bulmak mümkün.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_4.gif
Maltezyen modelini test etmek için, Amerika'nın nüfus artış verisini kullanabiliriz.
Sene Nufus Maltezyen Lojistik

1970 3.93 3.93 3.3
1800 5.31 5.19 5.30
1810 7.24 6.84 7.13
1820 9.64 9.03 9.58
1830 12.87 11.92 12.82
1840 17.07 15.73 17.07
1850 23.19 20.76 22.60
1860 31.44 27.39 29.70
1870 39.82 36.15 38.65
1880 50.16 47.70 49.69
1890 62.95 62.95 62.95
1900 75.99 83.07 78.37
1910 91.97 109.63 95.64
1920 105.71 144.67 114.21
1930 122.87 190.91 133.28
1940 131.67 251.94 152.00
1950 151.33 332.47 169.56
1960 179.32 438.75 185.35
1970 203.21 579.00 199.01
1780 226.50 764.08 210.46
1990 249.63 1008.32 219.77
2000 ? 1330.63 227.19

Örnek 1
Eğer t = 0 değeri için 1790 senesini alırsak, son formüle göre şöyle p(t) formülü nasıl bulunabilir?
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_5.gif
p(t)'yi bulduk. Yukarıda ki verilerden formülü kontrol edersek, Maltezyen tahmini 1900 tarihine kadar tuttuğunu görürüz. Fakat 1900'den sonra tahmin edilen nüfusun çok fazla, bu yüzden modelin işlemediğini görüyoruz.
Acaba model niye her zaman için işlemedi? Düşünelim. Model, nüfus çok arttıktan sonra bozulmaya başladığına göre, nüfus fazlalığı ile alakalı, ve bizim modele almadığımız bir faktör var demektir.
Maltezyen modeli, sadece doğal sebeplerden olan ölümü göz önüne almıştı. Öteki ölüm sebepleri de önemli olabilir, mesela yiyecek darlığından olan ölümler, yeterli sağlık malzemesi olmaması, ilaç yokluğundan olan ölümler, bulaşıcı hastalılar ya da suç işleyen insanlar yüzünden ölenler olabilir.
Eveeet, bu tür faktörler insanlar arasında etkileşim gerektirdiği ve belli kaynaklara olan yarışma sırasında vuku bulan ölme durumlerı olduğu için, modele, ikili ilişkilerin de dikkate alındığı bir şekilde genişletmemiz gerekiyor. Yani, p sayısındaki bir nüfus için, p(p - 1) kadar ikili ilişki olduğunu düşünürsek, o zaman bu ikili ilişki ve yarış sonucundaki ölüm oranını şu şekilde modelleyebiliriz.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_6.gif
k3 sabit değeri, yeni oranımız. Böylece denklemimizi şu şekilde değiştirmemiz gerekiyor.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_7.gif
Bu ikinci modele, lojistik modeli ismi veriliyor. Lojistik bildiğimiz gibi, malları bir yerden bir yere ulaştırmak, kaynak idaresi gibi anlamlar çağrıştırıyor, zaten ikinci denklemin içindeki faktörlerden biri de, artık, kaynaklara olan erişimin oluşturduğu yarışma durumudur.
Örnek 2
1790 yılındaki 3.93 milyonluk nüfusu temel alarak, ve 1840 yılında 17.07 milyon ve 1890 yılında 62.95 milyonluk nüfusu varsayarak, t'ye göre olan bir nüfus fonksiyonu bul.
Çözüm: t=0 1790 senesi olduğuna göre, p0 = 3.93 demektir. Şimdi a ve b parametrelerini bulmamız lazım. p(50) = 17.07, p(100) = 62.95 oluyor.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_8.gif
İki bilinmeyenli ve doğrusal olmayan bir denklem var elimizde. Genelde böyle bir sistemi çözmek için yaklaşıksal (approximate) bir yöntem kullanmamız gerekecekti, Newton metodu gibi. Fakat, t1 ve t2 zamanlarında olan değerleri bildiğimiz için, çözüm şöyle olacak.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...pop_diff_9.gif
Bu denklemi 2 üstteki denkleme koyduğumuz zaman, bir takım (!) cebir işlemlerinden sonra, elimize şu değerler çıkacak. a = 0.0304667 ve b = 0.0001214. Yani, elimizdeki veriler icin olan lojistik model şöyle olacak.
http://www.bilgidata.com/localhost/i...op_diff_10.gif
Bu sonucu verilerden kontrol etmeyi size bırakıyorum.
Sonuç
Bu yazıda hem model kurmanın ve türevsel denklemlerin yararlarını gördük. Türevsel denklem kurarken düşünülmesi gereken, dp/dt görünce 'oran' düşünmek, yani akla 'değişim' getirmek. Tabii daha türevleri daha detaylı anlayabilmek için (ispatı ile birlikte) limitlerin kuramı yararlı olur, fakat unutmayalım ki limitlerin analiz'in ispatı için yetişinceye kadar yüzyıllar geçmişti! Analiz'in tam ispatı daha gelmeden, mühendisler ve bilim adamları türevleri ve tümlevleri kullanıyorlardı.
Analiz, dinamik olan sistemler için kullanılır, yani değişmekte olan sistemler için gereklidirler. Analiz'in tarihinin fizik ile yakın alakası bundandır.