Logaritma
 

LOGARİTMA

a ve y gerçek sayılar olmak üzere;

ax = y

eşitliğini sağlayan x sayısına y sayısının a tabanına göre logaritması denir ve

x = logay

şeklinde gösterilir.

LOGARİTMANIN GENEL ÖZELLİKLERİ :

Üstel Sayıların Logaritması :

m sayısının n nci merteden üssünün logaritması m sayısının logaritmasının n ile çarpımına eşit olup


şeklinde gösterilir. Bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz.


ifadesinin her iki tarafının a tabanına göre logaritması;


olacağından ve ayrıca;


yazılır ve logaritması alınırsa;


elde edilir. Yukarıdaki x değeri yerine konulursa;


elde edilir.

Çarpımın Logaritması :

m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları toplamına eşittir.


Bunun doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz.


her iki eşitliğinin de a tabanına göre logaritması alınırsa


yazılır. Ayrıca


eşitliğin her iki tarafının a ya göre logaritması alınırsa


x ve y değerleri yerine konulursa;


elde edilir.


Bölümün Logaritması :

m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları faarkına eşittir.


Bunun doğruluğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz.


her iki eşitliğinin de a tabanına göre logaritması alınırsa


yazılır. Ayrıca


eşitliğin her iki tarafının a ya göre logaritması alınırsa


x ve y değerleri yerine konulursa;


elde edilir.

Değişik Tabanlı Logaritma :

Bir m sayısının b tabanına göre logaritması bilinirse a tabanına göre logaritmasının nasıl hesaplanacağını görelim.


ise; yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının b tabanına göre logaritması alınırsa


ve


bağıntısı elde edilebilir. x değeri yukarıdaki eşitlikte yerine konursa


bağıntısı elde edilebilir (Örnek 1, 2, 3 ).

Örnek : sayısının değerini logaritma kurallarından yararlanarak hesaplayınız.

Çözüm :



Örnek : Bir çözeltinin asitliği pH ölçüsü ile ortamdaki hidrojen iyonlarının konsantrasyonuna bağlı olarak şeklinde ifade edilir. Saf suyun 25.0 oC deki pH değeri ise 7.0 dir. HCl %100 iyonlaştığını düşünerek, 100 mL suya 0.1, 0.2, 1.0, 2.0, 10.0 ve 20.0 mL 0.1 M lık HCl çözeltisinden ilave edilmesi çözeltideki H+ konsantrasyonunun ve pH nasıl değiştiğini hesaplayarak çözelti hacmine karşı grafiklerini çiziniz.

Çözüm :

Asidin başlangıç konsantrasyonu ve hacmi ise, kadar asit ilave edildiğinde yeni konsantrasyonu ;


eşitliğinden hesaplanabilir.



KOLOGORİTMA:

Tanım: Pozitif bir x sayısının çarpma işlemine göre tersinin logaritmasına ilgili sayının kologoritması denir ve cologx ile gösterilir.

Cologx = log1/x = -logx

Örnek: Aşağıdaki ifadeyi logaritma özelliklerinden yaralanarak hesaplayınız?

Log162

Çozüm: log162 = log242 = ¼ log22 =1/4

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU:

Logaritma fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan tersi vardır.

f(x) = logax f ?1(x) = ax dir.