Polinomlar
 

Tanımı



a0,a1,a2,.....an reel sayılar ve n N olmak üzere , anxn + an ? 1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 biçimindeki ifadelere , x?e göre yazılmış reel katsayılı polinom denir. Anxn teriminde an sayısına katsayı , n?ye de terimin derecesi denir.


En büyük dereceli terimin derecesi, polinomun dercesidir. Derece yerine kısaca ?der? yazılır. Polinomlar P(x) , Q(x), ... ile gösterilir.


Reel katsayılı polinomların kümesi R|x| ile gösterilir. Katsayıları rasyonel sayılardan oluşan polinoma ?rasyonel katsayılı polinom? denir.


Rasyonel katsayılı polinomların kümesi Q|x| tir. Katsayıları tam sayılardan oluşmuş , ?tam katsayılı polinomların kümesi? de Z|x| tir.


Z|x| Q|x| R|x|



ÖRNEK


A) X4 + 5X2 ? 7X + 6


Çözüm

Dördüncü dereceden polinom.



b) x3 + + 4

x3 + + 4 = x3 + 3x-1 + 4 ifadesi polinom değildir. Çünkü ?1 üssü doğal sayı değildir.


c)5x6 + + 1

5x6+ + 1= 5x6 + x1/2 + 1 ifadesi polinom değildir. Çünkü üssü doğal sayı değildir.



d)2x + 7 Birinci dereceden polinom.



e) x3 + x2 ? 7x + 5

Üçüncü dereceden polinom.

SABİT POLİNOM


P(x) = a , (a R) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun dercesi sıfırdır.


Örnek


P(x) = 4

Q(x) = Polinomları sabit polinomlardır.

R(x) =


NOT

P(x) = 0 sıfır polinomu sabit polinomdur.

P(x) = 0 = 0 . x0 = 0 . x1 = 0 . x7 = ... yazılabileceğinden sıfır polinomunun dercesi belirsizdir. Bu nedenle sıfır polinomunun derecesi yoktur denir.


Örnek

P(2x ? 3) = x4 + 2x2 ? x + 5 ise P(1) in değerini bulunuz.

Örnek

P(2x ? 3) = 4x2 + 6x + 1 olduğuna göre P(x) polinomunu bulunuz.


Çözüm

2x ? 3 = 1 => x = 2 yazılır.

P(4 ? 3) = 16 + 8 ? 2 + 5

P(1) = 24 + 3 = 27 bulunur. Çözüm

P(2x - 3) ifadesinden P(x) i elde etmek için fonksiyonlarda olduğu gibi x yerine 2x-3 ün tersi yazılır.

P(2x ? 3) = 4x2 + 6x + 1

P(x) = 4 ( )2 + 6 ( ) + 1

P(x) = 4 . + 3(x + 3) + 1

P(x) = x2 + 6x + 9 +3x + 9 + 1

P(x) = x2 + 9x + 19 olur.



İKİ DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x , y) = 3x4y3 + 5x3y + 6x ? 2y + 5 ifadesi x ve y? ye göre yazılmış reel katsayılı polinomdur. Bu polinomda


3x4y3 terimin derecesi 3 + 4 = 7

5x3y terimin derecesi 3 + 1 = 4

6x terimin derecesi 1

- 2y terimin derecesi 1

5 terimin derecesi 0



P(x , y) polinomunun derecesi 7 dir.



Örnek

P(x , y) = 2x3y2 ? x2y + 2y ? x + 2

P(1 , 2) nin değerini bulunuz. Çözüm

X = 1 , y = 2 yazılır.

P (1 , 2) = 2 . 1 . 4 ? 1 . 2 + 2 . 2 ? 1 + 2

P (1 , 2) = 8 ? 2 + 4 + 1 = 11 bulunur.









Örnek

X3 + 2x2 + 3x + 5 = (x2 + x + 1)(x + a) + bx+c

Eşitliğini sağlayan c kaçtır ?

Çözüm

X3 + 2x2 + 3x + 5 = x3 + ax2 + x2 + ax + x + a +bx...